三角函数值域的求法

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1、2010年第7期中学数学研究19三角函数值域的求法江西省赣州市第四中学(341000)江士彦三角函数的值域问题，实质上大多是含有三角Ⅱ求)在区间[一71"，77"]上的值域-函数的复合函数值域问题．它是高考数学中的常考问题，一般以容易或中档题的形式出现，所以要求熟解)=1c。s2+譬sin2+2·(sin一练掌握求值域的常见解法．类型一：通过三角恒等变形化为求Y=Asin(WX。。戈)．(in+。)+)+B的值域．例1(2007辽宁17理)已知函数_厂()==c。s2+譬si+sin2—c。s2sin(w+詈)+sin(WX一詈)一2cos2WX，E，>0

2、·I．求_厂()的值域．=譬sin2一丢cos2·解)=譬sin+c。s+sin钾—．．∈E一12，手]’．．．2一詈∈[一詈，]．W-coswx一(COSWX+1)得：当=2一詈=一手时，即=一时，=sinwx—COSWX一1)一，=2sin(WX一詈)一1·当2一詈=詈时，即=He,f()～=1．．)的值域为[一3，1]例2(2008安徽17)已知函数-厂()=COS(2x所以-厂()在区间[一~-／12，7r／2]上的值域为『一2．1]．一71")+2sin(一71")sin(+手)，所以存在实数，使得函数Y=)与Y=g()是十分浪费时间和精力，而且

3、容易出现错漏．突破定的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为势思维，用函数单调性的角度思考，解这道题就变得(7，15—61n3)．轻而易举了．同类练习6．已知函数．厂()是二次函数，不等解析：解：当1≤≤3时，不等式一2rex一1式-厂()<0的解集是(0，5)，且)在区间[一1，4]111>0化为；m<÷(一)，设)=一，则m上的最大值是12．(1)求．厂()的解析式．(2)是否二1n存在自然数m使得方程_厂()+=0在区间(m，m<()在[1，3]上恒成立，‘．‘)在(0，+∞)二+1)内有且只有两个不等的实数根?若存在，求出／n上是增函数，．·．

4、在[1，3]上是增函数，．·．在[1，3]上的值；若不存在，说明理由[)]=-厂(1)=0，．’．要使不等式点评：本例介绍的是通过导数和单调性的关系一2rex一1>0对一切1≤≤3都成立，则来分析函数极值问题，进而解决方程根的个数的问m<0．题的处理方法．必须强化用导数知识处理函数最值、同类练习7．对任意a∈[一4，5]，不等式一单调性、方程的根、不等式的证明等数学问题的意6x<0(一2)恒成立，求的取值范围．识．点评：这种方法为分类讨论求参数问题之外提七、函数单调性与参数供了一种更为简捷的解题途径．同时也启示了解题例7已知不等式一2rex一1>0对一切时

5、应注意数学的思想方法，除了解题的通性通法外，1≤≤3都成立，求m的取值范围．也要注意一题多解，这样才能取得更大的进步．分析：这种题型，可以用分类讨论法破解之，但20中学数学研究2010年第7期以上两例评析：一般来说，只要是关于sinx的’··Y+¨_一++齐次函数都可化为Y=Asin(+)+B的形式，值—厶域由振幅A决定，．同时要注意在限定区间上的值=一1／2(t一1)。+1域．此类型是高考中常见情形．当t=1时，Y取得最大值为1；当t=一√时，y类型二：转化为关于sinx(或eosx)的二次函数取得最小值为一1／2一，式，再利用换元，配方等方法化为二次函

6、数在限定区·．．函数的值域为[一1／2一√，1]间上的值域．评析：必须熟悉sinx±eosx与sinxeosx的关联．例4(2008四川17)求函数Y=7—4sinxeosx类型四)=或厂()=+4cos一4cos的最大值与最小值．CSl／IX十Ⅱce0S十口解：Y7—4sinxcosx+4cos一4cos可以利用三角函数有界性或数形结合来求值域．=7—2sin2x+4cos(1一COS)例7求函数Y=二的最值．=7—2sin2+4cos2xsinSln一：7—2sin2+sin22解：由Y=in=S1n一V十=(sin2x一1)+6··．．sin2x∈[

7、一1，1]．n∈㈠，1]，．·．一1≤≤1·．．当sin2x=1时，y取得最小值6；当sin2x=一解得：一5／3≤Y≤1．·．)，=一5／3，Y=1．1时，Y取得最大值10．例5(2008福建17理)已知m=(sinA，例8求函数Y：的最值．c0)：(，一1)，一／T／．：,1，且A为锐角．解：法一：由y=得：y·cos一sinx=2yI．求角的大小COS一II．求函数)=eOS2X+4eosA·sinx，∈R的+1，值域．·．．而·sin(x一)=2y+1，解：I．由题意得m·n=J~sinA—cosA=1由sin(一)∈[一1，1]·．．2sin(A

8、一)=1即sin(A一7r／6)=1／2得一1≤≤1解得：3y+4