泛函分析_中两个定理的教学与应用.pdf

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1、第31卷第2期数学的实践与认识Vol.31No.22001年3月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYMarch,2001《泛函分析》中两个定理的教学与应用刘迎东(北方交通大学理学院应用数学所,北京100044)摘要:本文讨论《泛函分析》中Schauder不动点定理和Arzela-Ascoli定理的教学方法并把它们用于互助生态模型得到两物种共存的一个充分条件.关键词:列紧集;不动点;周期解1引言《泛函分析》是研究生的一门重要的基础课,但由于它的抽象性使学生学起来有一定的困难.首先可能基本的定理和结论大家就很难掌握,其次即使掌握了抽象的定理和结论

2、也不知道如何去用.正如张恭庆先生在[1]序言中所说,给人以“如入宝山而空返”的感觉.所以他们在写书时注意结合上了在偏微分方程上的应用.笔者在北方交通大学讲授工科硕士研究生泛函分析时,在这方面作了进一步的探讨.鉴于工科硕士研究生对偏微分方程知之甚少,笔者尝试了《泛函分析》中Schauder不动点定理和Arzela-Ascoli定理在常微分方程上的应用,发现不仅有助于学生理解和掌握这两个定理,而且对把他们带入规范的科学研究有一定的作用.笔者有一点点体会,愿与大家进行一下讨论.我们先回顾一下这两个定理.*Schauder不动点定理:设B是B空间X中的一个闭凸子集,T:B→

3、B连续且T(B)列[1]紧,则T在B上必有一个不动点.Arzela-Ascoli定理:设K是一个紧的度量空间,则为了F

4、识我先指导大家证明了一个简单的引理,并了解了线性方程式周期解的一些结论.du引理1设T周期函数u满足+CuE0,其中C>0为常数,则uE0.dt收稿日期:2000-10-27252数学的实践与认识31卷证明不妨在一个周期[0,T]内考虑.若结论不对,则u必在某点t0∈[0,T]取到最小du(t0)du(t0)值u(t0)<0.若0

5、存在唯一T周期解.其中C>0dt[2]为常数.3基本框架为了应用Schauder不动点定理,我启发大家应该把原问题转化为某Banach空间中某闭凸子集上算子的不动点问题.空间显然应取T周期连续函数空间.为了保证得到严格正解,闭凸子集应取有某确定正下界的函数集合.令K=[0,T],X为所有T周期连续函数,设x(t)∈X,取最大值范数‖x‖=maxt∈[0,T]x(t),则X成为Banach空间.取0

6、dtdv****+Cv=Cv+v(e(t)+f(t)u-g(t)v)dt**给定(u,v)∈X,由上方程组可得唯一T周期解(u,v)∈X,由此对应可得一算子T:**(u,v)→(u,v).显然T的不动点就是(*)的T周期解.紧接着我让学生证明了算子T的连续性.****设T(u1,v1)=(u1,v1),T(u2,v2)=(u2,v2),则d(u1-u2)*****+C(u1-u2)=C(u1-u2)+u1(a(t)-b(t)u1+c(t)v1)dt***-u2(a(t)-b(t)u2+c(t)v2)d(v1-v2)*****+C(v1-v2)=C(v1-v2)+v1

7、(e(t)+f(t)u1-g(t)v1)dt***-v2(e(t)+f(t)u2-g(t)v2)d(u1-u2)d(v1-v2)****在u1-u2,v1-v2取极值处,必有,为零,而若(u1,v1)→(u2,v2)dtdt时,上式右端趋于零,故通过考虑极值可知算子T连续.4最后结果接下来当然是逐条验证Schauder不动点定理的条件,即恰当地选取闭凸集B,使T把B映入B且T(B)列紧,而为证T(B)列紧又要用到Arzela-Ascoli定理,于是大家又对Arzela-Ascoli定理加深了了解.而且在验证定理条件过程中,逐步地把这些条件落实到了原方程的系数上而