由2016年浙江高考数列压轴题引发的思考.pdf

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1、·辅教导学·数学通讯———２０１６年第１０期（上半月）１由２０１６年浙江高考数列压轴题引发的思考黄建锋（浙江省余姚市第二中学，３１５４００）例１（２０１６年浙江高考数学理第２０题）已知３ｍ从而对任意ｍ＞ｎ，均有ａｎ＜２＋（）·４ａｎ＋１｜ａｎ－｜≤１．ｎ２２①，由ｍ的任意性得ａｎ≤２．（１）求证：ａｎ－１（ａ）（ｎ∈Ｎ＊）；＊，有ａｎ≥２１－２否则，存在ｎ０∈Ｎｎ＞２，取正整数０（２）若ａｎ≤（３）ｎ，求证：ａｎ≤２．｜ａｎ０｜－２ｎ３ｍｍ０＞ｌｏｇ３（）且ｍ０＞ｎ０，则２０·（）０２４２ｎ０４｜

2、ａ｜－２ａｎ＋１３ｎ０先看官方答案：（１）由｜ａｎ－｜≤１得｜ａｎ｜ｎ０·（）ｌｏｇ３（ｎ）＜２４２０＝｜ａｎ｜－２，与①式矛盾．２４０ａｎ＋１ａｎａｎ＋１１＊综上，对于任意ｎ∈Ｎ＊，均有ａ－｜｜≤１，故ｎ－ｎ＋１≤ｎ，ｎ∈Ｎ，所ｎ≤２．２２２２评注第（１）问创新之处是要先通过绝对值以ａｎａｎ＋１１ａ１ａｎ不等式放缩，变形成为ｎ－ｎ＋１≤ｎ，ｎ∈－２２２１ｎ２２＊，然后利用等差数列求通项的方法（累加法），Ｎａ１ａ２ａ２ａ３＝（１－２）＋（２－３）＋…笔者觉得命制背景是我们熟知的一类数列问题２２２２

3、（ａｎ，ｐ≠０，ｑ≠０，１）改编而来，对于ａｎ－１ａｎｎ＝ｐａｎ－１＋ｑ＋（ｎ－１－ｎ）２２ａｎａｍ１第（２）问关键要考虑到ｎ－ｍ＜ｎ－１，猜测１１１２２２≤＋２＋…＋ｎ－１≤１．２２２命题专家的思想来源于等差数列｛ａｎ｝中任意两项因此ａｎ－１（｜ａ）（ｎ∈Ｎ＊）．ｎ≥２１｜－２之间的关系即ａｎ－ａｍ＝（ｎ－ｍ）ｄ，其实这里真正（２）任取ｎ∈Ｎ＊，由（１）知，对于任意ｍ＞ｎ，体现了累加法的本质．最后，利用了反证法加以说ａｎ－ａｍ＝（ａｎ－ａｎ＋１）明，事实上体现了极限思想．ｎｍｎｎ＋１２２２２因此

4、，这是一道难得的好题，不仅题干简练，ａｎ＋１ａｎ＋２＋（ｎ＋１－ｎ＋２）＋…立足了课本但又高于课本，而且又体现了高等数２２学中的重要思想即极限思想，从而可以很好地区ａｍ－１ａｍ＋（ｍ－１－ｍ）２２分学生的学习潜能．１１１１笔者看到第（１）问时联想到了类等比数列：已≤ｎ＋ｎ＋１＋…＋ｍ－１＜ｎ－１，２２２２知数列｛ａｎ｝，若从第二项起，每一项与它的前一项１ａｍｎ故ａｎ＜（ｎ－１＋ｍ）·２的比都小于（或大于）同一个非零常数ｑ，则｛ａｎ｝叫２２做类等比数列，ｑ叫类等比数列的公比．≤［１＋１·（３）ｍ］·

5、２ｎ２ｎ－１２ｍ２类等比数列具有如下性质：３）ｍｎ若ａ且ｑ＞０，则当ｎ≥２时，ａｎ＋１＝２＋（·２．ｎ＞０＜ｑ，ａｎ４ａｎ２数学通讯———２０１６年第１０期（上半月）·辅教导学·ｎ－１（或者ａｎ＋１ｎ－１）．若ａｎ＋１＞ａｎ＋ｄ，则ａｎ≥ａ１＋（ｎ－１）ｄ；≤ａ１ｑ＞ｑ，ａｎ≥ａ１ｑａｎ若ａｎ＋１＜ａｎ＋ｄ，则ａｎ≤ａ１＋（ｎ－１）ｄ．利用类等比数列的这一性质，可以得到例１的下面的例２就与类等差数列有关．另一种证法．例２（２０１５年浙江高考数学理第２０题）已知ａｎ＋１例１的另证（１）由｜ａｎ－｜≤

6、１得数列｛ａ｝满足ａ１且ａ２，ｎ∈Ｎ＊．２ｎ１＝ｎ＋１＝ａｎ－ａｎ２２（ａｎ－１）≤ａｎ＋１≤２（ａｎ＋１）．ａｎ＊（１）证明：１≤≤２（ｎ∈Ｎ）．一方面，由ａｎ＋１≤２（ａｎ＋１）得ａｎ＋１＋２≤２（ａｎａｎ＋１２（ａ）≤…≤２ｎ（ａ），于是ａ（２）设数列｛ａ２｝的前ｎ项和为Ｓ，证明：＋２）≤２ｎ－１＋２１＋２ｎ≤ｎｎｎ－１（ａ）－２．２１＋２１≤Ｓｎ≤１（ｎ∈Ｎ＊）．２（ｎ＋２）ｎ２（ｎ＋１）另一方面，由２（ａｎ－１）≤ａｎ＋１得ａｎ＋１－２≥证明（１）略．２（ａ）≥…≥２ｎ（ａ），于是２（ａ

7、ｎ－２）≥２ｎ－１－２１－２（２）由ａ２得ａ２，所以ｎ－１（ａ）＋２．ｎ＋１＝ａｎ－ａｎｎ＝ａｎ－ａｎ＋１ａｎ≥２１－２从而有２ｎ－１（ａ）＋２≤ａｎ－１（ａ）Ｓｎ＝ａ２１＋ａ２２＋…＋ａｎ２＝ａ１－ａｎ＋１且１－１＝１－２ｎ≤２１＋２ａｎ＋１ａｎ－２．ａｎ１１ｎ－１（ａ）＋２≤ａｎ－１（ａ，于是由（１）的结论知１≤－≤２，所以当ａ１＜－２时，２１－２ｎ≤２１ａｎ＋１ａｎ＋１ａｎ＋２）－２＜０，故数列｛１｝是一个类等差数列．ｎ－１（ａ）－２｜＞｜２ｎ－１（ａ）｜ａｎ｜ａｎ｜≥｜２１＋２１＋２由类等

8、差数列的性质可得ｎ－１ｎ－１（｜ａ）．＝２｜ａ１＋２｜＝２１｜－２ｎ－１（ａ）＋２≤ａ１１１当ａ１＞２时，０＜２１－２ｎ≤＋（ｎ－１）·１≤≤＋（ｎ－１）·２，ａ１ａｎａ１ｎ－１（ａ）－２，故２１＋２１１１ｎ－１（ａ）＋２｜＞｜２ｎ－１（ａ）｜又ａ１＝２，所以２ｎ≤ａｎ≤ｎ＋１，所以｜ａｎ｜≥｜２１－２１－２ｎ－１ｎ－１（｜ａ）．１１１１＝２｜ａ１－２｜＝２１｜－２－≤ａ１－ａｎ＋１≤－，２ｎ＋２２２（ｎ＋１）当ａ１∈［－２，２］时，｜ａ１｜－２≤０，故｜ａｎ｜≥２ｎ－１（｜ａ）（