微积分10-1 answer

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1、《微积分A》习题解答习题10.1(P232)1．求下列级数的和.n∞⎛2⎞(1)∑100⋅⎜⎟n=1⎝3⎠2⎡2n⎤⎛⎞⎢1−⎜⎟⎥n⎛2⎞k3⎢⎝3⎠⎥⎡⎛2⎞n⎤⎣⎦解：Sn=∑100⋅⎜⎟=100⋅=200⋅⎢1−⎜⎟⎥k=1⎝3⎠1−2⎢⎣⎝3⎠⎥⎦3⎡2n⎤⎛⎞limSn=lim200⋅⎢1−⎜⎟⎥=200n→∞n→∞⎢⎣⎝3⎠⎥⎦n∞⎛2⎞n(2)∑(−)1⎜⎟n=1⎝3⎠2⎡22⎤⎛⎞−⎢1−⎜−⎟⎥n⎛2⎞k3⎢⎝3⎠⎥2⎡⎛2⎞2⎤k⎣⎦解：Sn=∑(−)1⎜⎟==−⎢1−⎜−⎟⎥k=1⎝3⎠1+25⎢⎣⎝3⎠⎥⎦32⎡22⎤2⎛⎞limSn=lim−⎢1−⎜−⎟⎥=−

2、n→∞n→∞5⎢⎣⎝3⎠⎥⎦5∞⎛11⎞(3)∑⎜−⎟nnn=1⎝23⎠1⎡1n⎤⎛⎞⎢1−⎜⎟⎥n⎛11⎞2⎢⎣⎝2⎠⎥⎦解：S=∑⎜−⎟=−n⎝2k3k⎠1k=11−2∞3+(−)1n(4)∑nn=121⎡⎛1⎞n⎤1⎡⎛1⎞n⎤⎢1−⎜⎟⎥−⎢1−⎜−⎟⎥n1n(−)1k2⎢⎣⎝2⎠⎥⎦2⎢⎣⎝2⎠⎥⎦解：S=3∑+∑=3⋅+n2k2k11k=1k=11−1+22第10章第1节1/7《微积分A》习题解答⎡⎛1⎞n⎤1⎡⎛1⎞n⎤=3⋅⎢1−⎜⎟⎥−⎢1−⎜−⎟⎥⎢⎣⎝2⎠⎥⎦3⎢⎣⎝2⎠⎥⎦⎧⎪⎡⎛1⎞n⎤1⎡⎛1⎞n⎤⎫⎪18limSn=lim⎨3⋅⎢1−⎜⎟⎥−⎢1−⎜−⎟⎥⎬

3、=3−=n→∞n→∞⎪⎩⎢⎣⎝2⎠⎥⎦3⎢⎣⎝2⎠⎥⎦⎪⎭33∞1(5)∑n=12(n−1)(2n+)1n11n⎛11⎞解：Sn=∑=∑⎜−⎟k=12(k−1)(2k+)12k=1⎝2k−12k+1⎠1⎡⎛1⎞⎛11⎞⎛11⎞⎤1⎛1⎞=⎢⎜1−⎟+⎜−⎟+⎜−⎟⎥=⎜1−⎟2⎣⎝3⎠⎝35⎠⎝2n−12n+1⎠⎦2⎝2n+1⎠1⎛1⎞1limSn=lim⎜1−⎟=n→∞n→∞2⎝2n+1⎠2∞n2−1(6)∑ln2n=2nn+1k2−1n+1(k−1)(k+)1解：Sn=∑ln=∑ln22k=2kk=2k⎡1⋅32⋅43⋅5(n−1)(n+)1n(n+)2⎤1n+2=ln⎢×××L××

4、⎥=ln(×)222222n+1⎣234n(n+)1⎦1n+21limSn=limln(×)=ln=−ln2n→∞n→∞2n+12∞1(7)∑n=1n(n+1)(n+)2n11n⎡⎛11⎞⎛11⎞⎤解：Sn=∑=∑⎢⎜−⎟−⎜−⎟⎥k=1k(k+1)(k+)22k=1⎣⎝kk+1⎠⎝k+1k+2⎠⎦1⎡⎛111⎞⎛1111⎞⎛1111⎞⎤=⎢⎜1(−)−(−)⎟+⎜(−)−(−)⎟+L+⎜(−)−(−)⎟⎥2⎣⎝223⎠⎝2334⎠⎝nn+1n+1n+2⎠⎦1⎡111⎤=−(−)⎢⎥2⎣2n+1n+2⎦第10章第1节2/7《微积分A》习题解答1⎡111⎤1limSn=lim⎢−(−)⎥=

5、n→∞n→∞2⎣2n+1n+2⎦4∞(8)∑(n+2−2n+1+n)n=1nn解：Sn=∑(k+2−2k+1+k)=∑[(k+2−k+1)−(k+1−k)]k=1k=1=[(3−)2−(2−1`)]+[(4−)3−(3−2`)]+[(5−)4−(4−3`)]++L+[(n+2−n+)1−(n+1−n)]1=(n+2−n+)1−(2−)1=+1−2n+2+n+1⎡1⎤limSn=lim⎢+1−2⎥=1−2n→∞n→∞⎣n+2+n+1⎦2．判别下列级数的敛散性.∞n(1)∑n=1n+1n解：limun=lim=1≠0n→∞n→∞n+1∞n由级数收敛的必要条件知：级数∑发散.n=1n+1∞(2

6、)∑(n+1−n)n=1n解：Sn=∑(k+1−k)=(2−)1+(3−)2+L+(n+1−n)=n+1−1k=1∞limSn=lim(n+1−)1=∞，由级数收敛的必要条件知：级数∑(n+1−n)发散.n→∞n→∞n=1n∞⎛n⎞(3)∑⎜⎟n=1⎝n+1⎠第10章第1节3/7《微积分A》习题解答nn+1−1⎛n⎞⎛1⎞⎛1⎞−1解：limun=lim⎜⎟=lim⎜1−⎟⋅⎜1−⎟=e≠0n→∞n→∞⎝n+1⎠n→∞⎝n+1⎠⎝n+1⎠n∞⎛n⎞由级数收敛的必要条件知：级数∑⎜⎟发散.n=1⎝n+1⎠∞nπ(4)∑sinn=12nkπ解：Sn=∑sin，因为S4m=0，S4m+1=1(

7、m=,2,1L)k=12∞nπ所以limSn不存在，故级数∑sin发散.n→∞n=12∞π(5)∑n⋅sinn=1nπsinπn解：limun=limn⋅sin==limπ⋅=π≠0n→∞n→∞nn→∞πn∞π由级数收敛的必要条件知：级数∑n⋅sin发散.n=1n∞⎛11⎞(6)∑⎜−⎟nnn=1⎝2⎠∞1∞1∞⎛11⎞解：由于调和级数∑发散，而几何级数∑收敛，由级数的性质得级数∑⎜−⎟nnnnn=1n=12n=1⎝2⎠发散.∞3n