极值点偏移问题(一).pdf

《极值点偏移问题(一).pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、极值点偏移问题（典型）孙林源类型一x例1.已知函数f(x)xe（xR).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值；(Ⅱ)已知函数yg(x)的图象与函数yf(x)的图象关于直线x1对称，证明当x1时，f(x)g(x)；(Ⅲ)如果xx,且f(x)f(x),证明xx2.121212x【解析】（Ⅰ）解：f(x)(1x)e，令f(x)0，解得x=1.当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表X(,1)1(1,)f’(x)+0-f(x)极大值所以f(x)在(,1)内是增函数，在(1,)内是减函数。1函数f(x)在x=1处取得极大

2、值f(1)且f(1)=ex2（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)e.xx22x2x令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)xe(x2)e，于是F'(x)(x1)(e1)e.2x-2x当x>1时，2x-2>0,从而e10,又e0,所以F’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。-1-1又F(1)=ee0，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).Ⅲ)证明：（1）若(x1)(x1)0,由（）及f(x)f(x),则xx1.与xx矛盾。12121212（2）若(x1

3、)(x1)0,由（）及f(x)f(x),得xx.与xx矛盾。12121212根据（1）（2）得(x1)(x1)0,不妨设x1,x1.由（Ⅱ）可知，f(x)>g(x),121222则g(x)=f(2-x)，所以f(x)>f(2-x),从而f(x)>f(2-x).因为x1，所以22221222x1，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以x>2x,即212xx>2.12反思：学会构造函数，充分认识所问问题的含义，正确转化变形.明确思路，再有的放矢地分析函数图象的偏移.1xx例2.已知函数f(x)e.21x(Ⅰ)求f(x)

4、的单调区间；(Ⅱ)证明:当f(x)f(x)(xx)时,xx0.1212122xx((x1)2)e解：(Ⅰ)对f(x)求导，f(x)，于是f(x)的单调性是22(1x)(,0)x0(0,)单增极大值点单减xx1xx1xx(1x)e(1x)e(Ⅱ)构造F(x)f(x)f(x)ee，222x1x1x(1x)e2xxxx(1e)记k(x)(1x)e(1x)e，则k(x)0，于是k(x)图象单调递减，即当xex0时，k(x)k(0)0，故F(x)0，f(x)f(x).f(x)f(x)，显然x

5、，x异号，否则，若x,x同为正（负），由单减（增），则121212f(x)f(x)，必xx与条件矛盾.不妨设x0，则x0，x0，则1212121f(x)f(x)，即f(x)f(x)f(x)。而在(0,)上，f(x)减，则xx，1121121故xx0.12思路概括研究一个函数yf(x)，先求函数的单调性，找出极值点xa，过极值点做垂直于x轴的直线xa，构造与此直线对称有关的函数F(x)f(x)f(2ax)，(xa)（或xa），由求导，得出F(x)0（或F(x)0），从而知F(x)F(a)0（或F(x)F(a)0）

6、，即f(x)f(2ax)（或f(x)f(2ax)）.另外x与x必定是在a的两侧，12(xa)(xa)0.不妨设xa，xa，则f(x)f(2ax)，即121211f(x)f(2ax)，而xa,2axa，根据在(a,)上的单调增（或单减），知2221x2ax（或x2ax），故xx2a（xx2a）.21211212练习巩固k1.已知函数fxlnx2．x（1）讨论fx的单调性；（2）若函数yfx的两个零点为x,xxx，证明：xx2k．121212k2.已知函数f(x)xlnx（kR），其图象与x

7、轴交于不同的两点A(x,0)，B(x,0)，12x且xx．122（1）求实数k的取值范围；（2）证明：xx12e练习题参考答案1.解xk（1）f(x)，（x0）2x当k0时，f(x)0，则f(x)单调递增；当k0时，(0,k)上递减，(k,)上递增，且xk是极小值点.（2）因为函数yfx的两个零点为x,xxx，则k0.构造函数1212F(x)f(x)f(2kx)，（xk）由24k(xk)F(x)0，22x(2kx)则F(x)在(k,)上单减，即F(x