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1、隆回九中数学第二课堂隆回九中数学第二课堂第二章函数§2.2函数的性质函数的基本性质1， 函数的奇偶性（1） 函数的奇偶性的定义。（2） 函数的奇偶性的判断与证明。（3） 奇、偶函数图象的特征。2， 函数的单调性（1） 函数的单调性的定义。（2） 函数的单调性的判断与证明。复合函数的单调性（3） 求函数的单调区间。3.函数的周期性(1)定义:设函数的定义域是D，若存在非零常数T，使得对任何x∈D，都有x+T∈D且f(x+T)=f(x)，则函数f(x)为周期函数，T为f(x)的一个周期。 定理
2、:设函数的定义域是D，a,b为不相等的常数，若对任何x∈D，都有x+a∈D,x+b∈D,且f(x+a)=f(x+b)，则函数f(x)为周期函数，a-b为f(x)的一个周期。(2)最小正周期:(3)定理:若T是函数f(X)的一个周期,则nT也是函数f(x)的一个周期.(n为非零整数.)4.函数图象的对称性一·中心对称：(1)奇函数的图象关于原点对称；一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(-x,-y)，则曲线f(x,y)=0关于原点对称（2）函数y=f(x)的图象关于点（a,b）对称的充要条件为：对函数定义域中的任意x均满足2b-y=f
3、(2a-x)(3)函数的图象关于点(a,0)对称的充要条件为:f(x)=-f(2a-x)f(a+x)=-f(a-x)(4)设函数f(x)对其定义域中的任意值x均满足f(a+x)=-f(b-x),则f(x)的图象关于点((a+b)/2,0)成中心对称.二·轴对称： （1）偶函数的图象关于Y轴对称； 一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(-x,y)，则曲线f(x,y)=0关于Y轴对称（2）设a是非零常数，如果对函数定义域中的任意值x均满足f(x)=f(2a-x)f(a+x)=f(a-x)则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。（３）
4、设函数f(x)对其定义域中的任意值x均满足f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图象关于直线x＝（a+b)/2对称.一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(2a-x,y)，则曲线f(x,y)=0关于直线x=a对称(3)反函数的图象函数y=f(x)的图象与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；函数y=f(x)的图象与－y=f-1(－x)的图象关于直线y=-x对称；设函数y=f(x)存在反函数，则其图象关于直线y=x对称的充要条件为f(x)=f-1(x).函数图象的对称性与函数的周期性有着密切的内在联系，我们有下面的结论：命题1：如
5、果函数的图象关于直线x=a和直线x=b(a≠b)对称，那么函数是以2(a-b)为周期的周期函数。命题2：如果函数的图象关于点(a,0)和直线x=b(a≠b)对称，那么函数是周期函数，4(a-b)为函数的一个周期。命题：如果函数的图象关于点(a,m)和直线x=b对称，那么函数是周期函数，4(a-b)为函数的一个周期。命题3：如果函数y=f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，那么函数y=f(x)是周期函数，2(a-b)为函数的一个周期。(a>b)命题：如果函数f(x)的图象关于两点(a,b)和(c,d)对称，那么：当a≠c，b=d时，f(x
6、)是周期函数，2(a-c)为函数的一个周期。当a≠c，b≠d时，f(x)不是周期函数。小结:关于函数关系式f(a+x)=f(bx)所表示的函数性质,我们用下面的歌谣来帮助记忆:(f可念虎,X可念司)f,x同号呈周期,周期恰是a,b差;f同x异轴对称,f异x异有中心.方程坐标和折半,符号一定要小心.双重对称周期现;2倍4倍要分清.高考题例1.（95）已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减 函数，则a的取值范围是（ ）(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(0.2) (D) [2,+∞)2.(96）设f(x)是R上的奇函
7、数，f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)等于（ ）(A) 0.5 (B)-0,.5 (C)1.5 (D)-1.5BB3，（97）定义在R的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[0,+∞)的图象与f(x)的图象重合。设a>b>0，给出下列不等式：①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ②f(b)-f(-a)g(b)-g(-a) ④f(a)-f(-b)8、(C)①③ (D)②④C练习:设函数y=f(x)的图象关于点(1,2)对称,且存在反函数f-1(x),若f(4)=0
