反函数常见题型11-副本.doc

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1、实用文档学好反函数需掌握的11种题型及方法反函数是高中数学的重要概念之一，也是学生学习的难点之一。在历年高考中也占有一定的比例。为了更好地掌握反函数相关的内容，现归纳整理反函数的几种题型及其解法，供复习参考.一.反函数存在的充要条件例1.函数在区间上存在反函数的充要条件是（）A.B.C.D.解析：因为二次函数不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间或上是单调函数。而已知函数在区间［1，2］上存在反函数所以或者，即或，故选（C）点评：函数在某一区间上存在反函数的充要条件是该函数在这一区间上是一一映射。特别地：如

2、果二次函数在定义域内的单调函数，那么函数f（x）必存在反函数；如果函数f（x）不是定义域内的单调函数，但在其定义域的某个子区间上是单调函数，那么函数f（x）在这个子区间上必存在反函数。y=是映射反函数x=是映射.因此,y=存在反函数的充分必要条件是所属区间上,x、y应该一一对应.二.反函数的求法例2.函数y=的反函数为（）解：y=，取常用对数，得2x=lny,x=lny.其中即y>0.因此，反函数是.选（B）.实用文档例3.y=2+1(x>0)的反函数（）Ay=log,By=-logCy=logDy=log解：解

3、方程y=2+1，得x=log,即y=log.的定义域.故选(A)注：求反函数解析式要注意其定义域例4.函数的反函数是（）A.B.C.D.解析：由可得，故，从解得因，所以，即其反函数是故选（B）。评注：这种类型题目在历年高考中比较常见。在求反函数的过程中必须注意三个问题：（1）反函数存在的充要条件是该函数在某一区间上是一一映射；（2）求反函数的步骤：①求原函数的值域，②反表示，即把x用y来表示，③改写，即把x与y交换，并标上定义域。其中例3在反表示后存在正负两种情况，由反函数存在的充要条件可知，只能根据函数的定义域

4、（）来确定实用文档，再结合原函数的值域即可得出正确结论。另外，根据反函数的定义域即为原函数的值域，所以求反函数时应先求出原函数的值域，不应该直接求反函数的定义域。例如：求的反函数。由可得，反表示解出，由应取，即，所以为其反函数。（3）f（x）与互为反函数，对于函数来说，其反函数不是，而是。同理的反函数也不是，而是。三.求反函数定义域、值域类型1.求原函数的定义域例5.函数反函数是，求定义域解：原出数定义域是反函数值域，的值域是，故函数定义域是2.求反函数定义域例6.函数f(x+1)=log(x+2)+x+2x+3

5、的定义域，求反函数定义域解：f(x+1)的值域，f(x+1)与f(x)的值域相同，反函数定义域是注：从另角度看，f(x)=log(x+1)+x+2的值域是其反函数的定义域，但是此时它的定义域是，不要误认为是,从而出现f(x)的值域不是错误.3.求反函数值域例7.若为函数的反函数，则f－1（x）的值域为_________。解析：通法是先求出f（x）的反函数，可求得f－1（x）的值域为，而利用反函数的值域就是原函数的定义域这条性质，立即得f－1（x）的值域为。评注：这种类型题目可直接利用原函数的定义域、值域分别是反函

6、数的值域和定义域这一性质求解。四.反函数的奇偶性、单调性类型实用文档例8.函数的反函数是（）A.奇函数，在（）上是减函数B.偶函数，在（）上是减函数C.奇函数，在（）上是增函数D.偶函数，在（）上是增函数解析：因为在（）上是增函数，在（）上是减函数所以在（）上是增函数，易知为奇函数利用函数与f－1（x）具有相同的单调性，奇函数的反函数也为奇函数这两条性质，立即选（C）。解：偶函数无反函数，排除B、D；原函数在（0，+）上是增函数，反函数也增函数.故选（C）.注:利用函数与f－1（x）具有相同的单调性，奇函数的反函

7、数也为奇函数、偶函数无反函数这三条性质，立即选（C）。五.反函数求值类型例9.设函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数，则___________。解析：由，可知函数f（x）的图象过点（4，0）。而点（4，0）关于点（1，2）的对称点为（-2，4）。由题意知点（-2，4）也在函数f（x）的图象上，即有，所以。评注：此题是关于反函数求值的问题，但又综合了函数图象关于点的对称问题。在反函数求值时经常要用到这条性质：当函数f（x）存在反函数时，若，则。例10.设f－1（x）是函数的反函数，若，则实用文档的值

8、为（）A.1B.2C.3D.分析：直接利用：若，则。选（B）。例11.已知函数是奇函数，当时，，设的反函数是，则.解：易求当时，。解方程和，前者x=-2,后者无解.则-2.例12.设是函数的反函数，若，则的值为（）A．1B．2C．3D．解:即，即.求得，。=8，a+b=3,于是=.选（D）.注;涉及的值时,往往从它的意义入手,通过解方程,得x=,较为简便.例13.设，已知