一道角平分线问题的探究

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1、妲私考Vo1．No7．教育教学1SCIENCEFANS一道角平分线问题的探究于晓晖(上海市华东师范大学上海200241)摘要：角在我们的日常生活中随处可见，有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，用尺规作一给定角的角平分线也是我们所熟悉的。可是如果没有给出角的顶点，就象参考书上给出的下面这个问题那样，学生将会怎样作角平分线呢?我们在师范生的学科教学法课上向学生展示了这个不同寻常的问题，没想到学生非常有兴趣地提出了多样的解法。这个问题源自法国初中几何教材，有兴趣的读者也可以在几何教学中尝试。关键词：角平分线几何角【中图分类号】G644

2、．5【文献标识码】A【文章编号】1671—8437(2010)01—0001—01问题：如图1．长方形纸上有两条线段a和b，其交点在长方这种方法利用了直线的另一性质：两点确定一直线。我们形纸外，问如何(停留在长方形内)作出含线段a与b的两条射已经知道三角形的三条角平分线相交于一点，那么我们只需分线所成角的角平分线?别构造出以线段a和线段b为两边的两个三角形，分别做出这两个三角形角平分线的交点．联结这两点即可。此方法所构造的三角形中有一个是利用了已知矩形的边，也可以不利用矩形的边重新构造一个三角形。图l方法四：如右图，原理与方法三相

3、同，构造出两个三角形，下面是学生给出的几种解法。分别作其角平分线，再联结这两个内心。方法一：折叠这张纸使得线段a与线段b重合，折线即为角平分线。这种方法很好地利用了角的轴对称性，属于实验几何水平上的解法，有一定的局限性，如果给出的不是一张纸而是一块钢板或是别的不能折叠的材料，此方法就不再适用。方法二：平移线段a使其与线段b相交于点C，如下图，做图4LECD的角平分线CF，再做ABD和CDB的角平分线，相交方法五：分别平移线段a与线段b到与，使a与、b与之间于点G，过点G做CF的平行线．该平行线就是所求的角平分的距离相等，再做出与所

4、成角的角平分线即为所求，如下图。线。AC图2这种方法很好地利用了直线的性质和三角形的性质。如果图5直线的方向和直线上的某一点确定了，那么这条直线也就确定这种方法是将角沿着角平分线的方向平移，平移后找到了了。直线的方向和这一点怎样来确定呢?我们是这样做的：直线角的顶点，因此所作的角平分线就是所求。可怎样能保证角是沿的方向是通过将角平移后再做出角平分线得到的；我们知道，三着角平分线的方向平移呢?也就是说，a与a、b与b之间的距角形的三条角平分线相交于一点．只要通过三角形中其余两角离相等这一条件能否用尺规作出?答案是肯定的：分别做线段a

5、求出内心就确定了该点，因此所求角的角平分线也就确定了。与线段b的垂直平分线，在其上截取相等的长度，再分别作a'／／此方法是通过确定直线的方向和直线上一点来确定直线a．b'／fo即可。的，那么还有没有别的方法来确定直线呢?综合以上各种方法，在解题过程中所用到的知识点用如下方法三：如下图，分别在线段a和线段b上任取点E和点的概念图表示便一目了然。F，作AEF和CEF的角平分线，相交于点G，再做ABD和CDB的角平分线，相交于点H，联结GH，则GH并延长就是所求的角平分线。图6这个问题来源于法国初中几何教材中的一道习题。法国的图3(下转

6、76页)一9一妲斜棠髂考VO1．NO7SCIENCEFANS教育教擎1这里，我们不妨以“水的沸腾”教学为例。在初中科学教学教师点题性的问：请同学们推测一下，大气压是如何影响水中，对水的“沸腾”现象的教学，是培养学生观察能力的良好材的沸点的?料：通过对水的“沸腾”现象的观察与实验，还能说明“沸点随气学生回答：大气压减小，水的沸点降低。压变化”的知识。以此来说明指导发现式教学法的具体教学过(3)实验验证。程。正在沸腾的水，拿去酒精灯，水停止沸腾。让几位同学上讲(1)观察水的“沸腾”过程，从物理的角度发掘问题。台，用抽气机把烧瓶中的空气

7、抽出。首先让学生观察：用酒精灯给烧瓶中的水加热，在温度达到教师问：同学们看到了什么现象?沸腾以前，水内产生汽泡，汽泡上升，由大变小，并消失在水中；学生答：水又沸腾了。而当温度达到沸腾时，水中上升的汽泡由小变大，直到水面而破教师问这次水沸腾的原因又是什么7裂。教师首先让学生注意到两种情况下的不同现象，进而发掘问学生回答：抽气时烧瓶内的大气压减小，水的沸点降低。题，如．，为什么会出现汽泡?为什么沸腾前与沸腾时不同?究竟什(4)归纳总结得出结论。么叫沸腾?教师问：通过刚才的实验能得到什么结论?在此基础上．教师进一步提问：由课文中的沸点数

8、据可知，学生答：大气压减小时，水的沸点也随之降低。水在标准大气压下的沸点是多少?学生们很快答出是100％。然教师问：当大气压增大时，水的沸点又会怎样变化?后让几位学生上讲台测出沸水的水温。学生答：当大气压增大时，水的沸点也会随之升高。接着教师问：沸