随机过程与马尔可夫链习题答案.doc

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1、8信息论与编码课程习题1——预备知识概率论与马尔可夫链1、某同学下周一上午是否上课，取决于当天情绪及天气情况，且当天是否下雨与心情好坏没有关系。若下雨且心情好，则50%的可能会上课；若不下雨且心情好，则有10%的可能性不上课；若不下雨且心情不好则有40%的可能性上课；若下雨且心情不好，则有90%的可能不会上课。假设当天下雨的概率为30%，该同学当天心情好的概率为20%，试计算该同学周一上课的可能性是多大？分析：天气情况用随机变量X表示，“0”表示下雨，“1”表示不下雨；心情好坏用Y表示，“0”表示心情好用“0”表示，心情不好用“1”表示；是否上课用随机变量

2、Z表示，“0”表示上课，“1”表示不上课。由题意可知已知，，，，，，即题目实际上给出了八个个条件概率和四个概率由于X，Y相互独立，则有=注意：全概率公式的应用XY5610.20.320.10.42、已知随机变量X和Y的联合分布律如又表所示，且，，求：1）的分布律与数学期望881）的分布律与数学期望2）大于10的概率3）由上面的例子，你是否能得到离散随机变量函数的数学期望的一般表达式？包括一元和多元随机变量函数。分析：1）2）说明：主要考虑联合分布律与随机变量函数分布律的关系Z167910P0.20.30.10.43）4）andsoon.3、已知随机变量的概

3、率密度函数为，其中，为的函数，求：1）随机变量X小于或等于5的概率2）随机变量Y的概率密度函数3）随机变量Y大于10的概率4）随机变量Y的数学期望分析1）2）假设用88分别表示随机变量X的分布函数、随机变量Y的概率密度函数和分布函数，则有：有3）4）3、已知随机变量和的联合概率密度函数为，。1）求随机变量Z的数学期望2）求随机变量Z的概率密度函数3）结合习题3，总结连续随机变量的函数的数学期望的一般表达式，包括包括一元和多元随机变量函数。分析：1）2）88=3）andsoon.P352T2给定随机过程,是任意实数，定义另一随机过程试将的均值函数和自相关函数

4、用随机过程的一维和二位分布函数表示出来分析：由题知，是随机过程，的取值由决定，所以也是随机过程。由题中不知道随机过程是连续还是离散，但一定是离散随机过程，它的样本空间是。概率分布可以表示成如下形式01因为等于1的概率等于小于等于的概率（），等于0的概率等于大于的概率（）。因此有。同理，由题知所以得到10P{其他}88P352T3设随机过程，，其中是在区间服从均匀分布的随机变量。试求的均值函数和自相关函数。分析：是随机变量，是普通变量，所以是随机过程。由题知的概率密度函数为因为随机过程可以看作是随机变量的函数，因此有注意才是随机变量，不是我们习惯的。注意理解

5、其本质意义，否则换个符号表示就会难倒你。P353T9是互不相关的随机过程。，其中是普通函数。求的均值函数和自相关函数。分析：1因为数学期望运算只对随机变量和随机过程起作用，对普通函数、普通变量和常量不起作用。（为什么？）。所以分析288因为相互独立，则其在任何时刻对应的随机变量之间也相互独立，即。则有所以二、马尔科夫链P374T5、设马氏链的状态空间为，初始分布为，转移概率矩阵为(1)计算(2)证明(3)计算(4)计算（1）分析：由于马氏链的遗忘特性。所以由于只给出了一步转移概率矩阵，则应将马氏链改为齐次马氏链为宜。88(2)分析：(3)分析：随机过程在0

6、时刻处于状态1的条件下，2时刻转移到2状态的概率。即二步转移概率矩阵的第1行第2列。所以4）分析P375T10设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为，。试证明此链具有遍历性，并求其平稳分布分析:1）因为即存在m=2使得m步转移概率中每一项都大于0，因此该马氏链具有遍历性。2）设平稳分布为则有88及计算可得，表达形式不唯一。奖励加分题：1、证明若齐次马氏链具有遍历性，则齐n步转移概率矩阵（n趋近于无穷大）每一列中的元素都相同。2、当具有遍历性的齐次马氏链处于平稳状态时，经过一次转移后仍处于平稳状态。8