自考高等数学(工本)讲稿.pdf

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1、自考高等数学(工本)讲稿目录预备知识1.函数与极限2.导数与微分3.不定积分4.定积分及其应用第一章空间解析几何与向量代数第二章多元函数的微分学第三章重积分第四章曲线积分与曲面积分第五章常微分方程函数与极限一、函数(一)几个概念D1、邻域：点a的δ邻域--Ua(,)δ，点a的δ去心邻域--Ua(,)δ。2、函数的有界性：X⊂∃>∀∈DM,0,,xXfxM

2、()

3、<.3、单调性4、奇偶性5、周期性(最小正周期)6、反函数(求反函数的步骤，关于yx=对称)(二)基本初等函数q±μpx幂函数y==xx，指数函数y=a，对数函数y=logx，三角函数si

4、nx,cosx,tanx,acotx,secx,cscx，反三角函数arcsinx,arccosx,arctanx,arccotx。sin(x)cos(x)110.50.500-0.5-0.5-1-1-2-101201234tan(x)cot(x)5500-5-5-1.5-1-0.500.511.500.511.522.53sec(x)csc(x)10105500-5-5-10-10-1012340123456arcsin(x)arccos(x)31201-10-1-0.500.51-1-0.500.511arctan(x)arccot(x)31

5、201-10-10-50510-10-50510由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合运算的所构成并可用一个式子表示的函数称为初等函数。(三)常用公式bbbbbaa⎛⎞bcb+cbbcc1、幂指对公式：(1)acac⋅=()；(2)=⎜⎟；(3)aaai=；(4)(aa)=bcc⎝⎠clogb=logcbblogab(5)logbc=logb；(6)；(7)logab=；(8)ab=aaaalogac3、三角公式●三角函数基本关系22sinαcosα(1)sinαα+cos=1；(2)tanα=；(3)cotα=；(4)tanα

6、icotα=1；cosαsinα2222(5)sinαcscα=1；(6)cossecαα=1；(7)secαα−tan=1；(8)cscαα−cot=1●三角公式其它重要公式sin()α±=βαsincosβα±cossinβcos(α±=βα)coscosβα∓sinsinβtanα±tanβα+βα−βtan()αβ±=sinαβ+=sin2sincos1tanan∓αβ22α+−βαβα+βα−βsinαβ−=sin2cossincosαβ+=cos2coscos2222α+βα−β1cosαβ−=cos−2sinsinsinsinαβα

7、=−⎡⎣cos()(+β−cosα−β)⎤⎦22211coscosαβα=+⎡⎤⎣⎦cos()(βα+cos−β)sincosαβα=−⎡⎣sin()(+β+sinα−β)⎤⎦22222cos2αααα=cos−=sin2cos−12tanαsin2αα==2sincosα1tan−2α221tan+α=−12sinα=21tan+α2tanαα1cos−αtan2α=sin=±21tan−α222α1cos+αα1cos−−αα1cossinαcos=±tan=±==2221++cossαin1ααcos21cos2−α21cos2+αsinα

8、=cosα=22二、极限1、无穷小：极限为0的变量称为无穷小运算法则：(1)有限个无穷小相加是无穷小(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小●有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小●常数与无穷小的乘积是无穷小●有限个无穷小的乘积是无穷小2、无穷小与函数极限的关系：lim()fxAfxAxfxAx=⇔()=+α()⇔()−=α()xx→03、极限存在准则：(1)夹逼准则：x≤≤yznnn(2)单调有界准则sinxπ4、两个重要极限：(1)lim=1，x∈(0,)，sinx

9、β是比α高阶的无穷小ifflim=0αβ(2)β与α是同阶无穷小ifflim=CC(≠0)αβ(3)β与α是等价无穷小ifflim=1αβ(4)β是α的k阶无穷小ifflim=CC(≠0)kα12(5)11个重要的等价无穷小：sinx~x，arcsin~xx，tan~xx，arctan~xx，1cos~−xx，213xxxtanx−sin~xx，ax−1~lna，ex−1~，log(1+x)~，ln(1+x)~x，a2lnanxα11+−x~((1)+xx−1~)αnβ′ββ′(6)等价无穷小替换：若α~α′，β~β′，且lim=Aor∞，则li

10、m=lim。α′αα′tanx−sinx例：lim3x→0sin2x三、连续函数1、定义：lim()fxfx=()或limΔ=y0左、右