《Routh稳定性判定》PPT课件.pptx

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1、第五章系统的稳定性5.2Routh稳定判据5.2Routh（劳斯）稳定判据劳斯稳定判据的根据：利用系统特征方程式的根与系数的代数关系，由特征方程中的已知系数来间接判别方程的根是否具有负实部，从而判定系统的稳定性。因此，劳斯稳定性判据又称为代数稳定判据。代数稳定判据还有胡尔维茨稳定判据。低阶系统(六阶以下)第五章系统的稳定性5.2Routh稳定判据一、劳斯稳定判据的步骤1.列写系统的特征方程式2.系统稳定的必要条件各系数同号且不为零或an>0,an-1>0,…,a1>0,a0>03.列写Routh数列表其中：第五章系统的稳定性5.2Rou

2、th稳定判据Routh（劳斯）数列列写规律第一行为原特征方程式系数的奇数项，第二行为原系数的偶数项。从第三行起，每行的数都是由上两行的数算得的。等号右边的二阶行列式中，第一列都是上两行中第一列的两个数，第二列为被算数右上肩的两个数，等号右边的分母是上一行中左起第一个数的相反数。4.系统稳定的充要条件Routh表中第一列各元的符号均为正，且值不为零。Routh表中第一列各元符号变化的次数等于系统不稳定根的个数。5.2Routh稳定判据第五章系统的稳定性解：1）充分条件例5.1系统的特征方程求系统的稳定性。D(s)=s4＋s3－19s2＋1

3、1s＋30＝0，ai不全为正，所以系统不稳定。2）列写Routh数列3）第一列符号变化2次，系统有两个不稳定根。5.2Routh稳定判据第五章系统的稳定性低阶(二阶、三阶)系统的劳斯稳定判据a0>0，a1>0，a2>0三阶系统a3>0,a2>0,a1>0,a0>0,a1a2－a0a3>0二阶系统5.2Routh稳定判据第五章系统的稳定性例5.2已知ξ=0.2及ω＝0.86，试确定K取何值时，系统方能稳定。图5.2系统方框图解：系统的传递函数为将已知条件代入，系统的特征方程为列出Routh数列为5.2Routh稳定判据第五章系统的稳定性如

4、果要求所有特征根都在s=-a垂线左侧，可令代入原特征方程式，得到的特征方程，再用Routh判据即可。二、劳斯判据的特殊情况1.劳斯表某一行中的第一列元素为零，其余各项不（全）为零。用一个很小的正数代替该行第一列的零，并据此计算出阵列中的其余各项。然后令0，按前述方法进行判别处理方法如果上下各元素的符号相同，则系统存在一对共轭虚根，处于临界稳定状态；如果上下各元素的符号不同，则表明有一个符号变化，系统不稳定。5.2Routh稳定判据第五章系统的稳定性例5.3s4132s3330s222s1(0)0s02事实上，该系统特征根如下

5、：－1、－2、±j劳斯阵列第一列上下两项的符号相同，表明系统有一对虚根。系统临界稳定。5.2Routh稳定判据第五章系统的稳定性2.劳斯数列表某一行全为零劳斯数列出现全零行表明系统在s平面有对称分布的根，即存在大小相等符号相反的实根和（或）一对共轭虚根和（或）对称于实轴的两对共轭复根；或存在更多这种大小相等，但在s平面位置径向相反的根。j0-aaj0-jajaj0-aa-jbjb利用该零行上面一行元素构成辅助多项式，取辅助多项式导数的系数代替该零行，继续计算劳斯数列中其余各项。处理方法5.2Routh稳定判据第五章系统的稳

6、定性-1、-1±j2、-1±j、1±j显然，系统不稳定。其特征根如下：s717428s6351220s516/3064/30s45020s300200s2(0)20s1-400/s020例5.45.2Routh稳定判据第五章系统的稳定性三、利用劳斯判据建立条件稳定系统例5.5控制系统的闭环传递函数为，试求（1）使闭环系统稳定的K值范围；（2）要求系统特征根全部位于s=-1垂线的左侧，确定K值范围。解：(1)系统特征方程为根据Routh稳定判据，对于该三阶系统，当K＞0，且14×40＞40K时，该系统稳定，即0＜K＜14时，该系统稳定

7、；(2)令s=z-1，代入原特征方程式，则有根据Routh判据，此三阶系统，当40K-27＞0，且11×15＞40K-27时，该系统稳定，即0.675＜K＜4.8，系统满足条件稳定5.2Routh稳定判据第五章系统的稳定性四、劳斯判据的适用范围1、实系数的代数方程式；3、只能提供闭环系统的绝对稳定性信息，不能反映系统的相对稳定性。2、若系统有纯滞后环节时，则不能用该判据；