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1、通过创新培养学生的“全能力”摘要：考查学生的数学能力是多方位多层面的，可称之为“全能力”。代数和几何的综合题主要考查学生的基本运算能力、思维能力和空间想象能力。而中考试卷中考查学生“全能力”的必考题，也是学生数学学习中的难点。所以，教师在初二阶段应将学生“全能力”的训练作为教学关注的重要内容。关键词：一题多解；讨论研究；全能力所谓“全能力”，从数学角度看，包括洞察玄机的观察力、新旧知识整合的融通力、细致缜密的思考力、路径选择的调整力以及克难攻坚的驱动力、不言放弃的坚持力、踏踏实实的执行力……进入初三复习阶段后，对于一些综合性较强的题目学生不太适应，但是综合性的题目是中考考查学
2、生数学能力的必有考题。这样的考题不仅考查的知识点多、知识面广，而且往往将代数和儿何知识紧密结合，对学生而言是个很大的考验，要求学生有较高的基础知识水平和较强的运算能力、逻辑思维能力及空间想象能力。鉴于此，本人通过创新，在复习开始有意识地每过一段时期布置一道“研究题”，让全班广泛交流，对一题多解的研究收到了不错的效果。下血，我就一道改编的中考题展示学生解决这道题的成果，并谈谈在实施过程中的想法。习题：如图1,直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点A、B,点C(0,n)是y轴上一点，把坐标平面面积沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，请求出点C的坐标。分析：(1)这道题是在平面直角
3、处标系背景下的问题，考查学生一次函数和相似、勾股定理，轴对称变换等的综合解题能力，是一道典型的代数和几何的综合题。这又是一道近几年来比较热点的操作变换题，要求学生能运用数学中观察、试验、归纳、演绎、类比、分析、综合、抽象、概括等常用的思维方法，并能结合题冃选择恰当的解题思路，使用有效的解题方法。(2)平面直角坐标系中常见着眼点是求解出函数与图像的关系、直线与x轴、y轴的交点及题中的特殊点，因此根据直线解析式首先求出了点A、B的坐标A(4,0)、B(0,3),并通过解直角三角形RtAAOB求得AB二5。(3)根据折叠(轴对称变换)中的变与不变找到线段Z间的联系，求得关键点和线段
4、的长度，假设折叠后点B刚好落在x轴上的点B处，要求得的关键点和线段的长度即为点B'的坐标和线段B'O的长度。易得B'(-1,0),B'0=l。下面给大家展示学生的四种解题方法：解法一：如图2,易求点A、B的坐标A(4,0)、B(0,3)o在RtAAOB中由勾股定理求得AB==5o设折叠后点B与B'重合,则AB'=AB=5,/.B*0=1=1o又沿直线AC折叠后B'OBO3-n,在RtAB，0C中由勾股定理得B'02+C02二B'C2,A12+n2=(3-n)2,解得n二,AC(0,)。生自述：这是一道有关平面直角坐标系内的问题，我想可以构造直角三角形求解点的坐标，按照这样的想
5、法一步步演算、证明得到了解法。从这道题给出的已知条件，先求出图中标示的点A、B的坐标，和折叠后落在x轴上点的坐标。因为是在平面直角坐标系中，一定会构造出直角三角形。连接CB',则构造了Rt/XB'OC,再根据折叠的轴对称的性质可得到B'C=BO3-n,这样就可以解RtAB，0C,由勾股定理得出方程解，从求出了点C的坐标。解法二如图3,由折叠知AC为ZBA0的角平分线，过点C作CH丄AB,垂足为H,・.・C0丄AO,/.CH=C0=n0由直线解析式：y二x+3易求点A、B的坐标A(4,0)、B(0,3),在RtAAOB中由勾股定理求得AB=5。VSAAB0=SAABC+SAAC
6、O,AAO•BO二CO•AO+CH•AB。4X3=4n+5n,解得n二，/.C(0,)。生自述：我是从折叠的轴对称变换角度去寻求答案的，由轴对称的性质重叠的部分数量相等，所以重叠角角相等，那么折痕AC为ZBA0的角平分线，由点C恰在角平分线上构造角平分线的基本图形，过点C作CII丄AB,这样利用三角形的等面积变换求解出高CO的长，从而求出了点C的坐标。解法三：如图4,求点A、B的坐标A(4,0)、B(0,3)。在RtAAOB中，由勾股定理求得AB二二5,设折叠后点B与W重合，则AB'二AB二5,AB，0=1o在RtAAOB中,由勾股定理求得BB'二二，接BB',则由折叠知直线
7、AC为线段丽'的垂直平分线。・・・BG二BB'二，ZBGC=ZB，0B=90°。VZGBC=ZB，BO(公共角),•••△BGCs/XBOB',/.=,即二,解得n二,AC(0,)o生自述:我是从折叠中折痕是对应点所连线段的垂宜平分线角度去思考这个问题的。连接BB',则直线AC为线段BB'的垂直平分线，构造出了一对相似三角形△BGCsABOB',然后想办法求解出比例式中两对对应边中三条边的长度，因为已知了直线解析式，所以容易求解两个直角三角形,从而求出了点C的处标。解法四：如图5,设折叠后点B与重合，则
