浅议凸简多面体.doc

《浅议凸简多面体.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、浅议凸简多面体浅议凸简多面体1・凸多面体性质根据凸多面体的概念，不难得出如下性质.性质1•过多面体面上的任意一点作直线穿多面体，至少存在一直线与多面体的面的公共点多于两个，则该多面体不是凸多面体。证明：在如图1所示的多面体屮，过HUSBC上的点F做直线，分别与面SCD,面SED,面SEA交于G、H、K,共4个交点，下面我们证明该多面体不是凸多面体.我们将tniSCD伸展为平而，则点F和H在平而SCD的两侧，所以多面体不在这个平面的同一侧，该多面体不是凸多面体•论毕.因为性质1的逆否命题应该正确，所以我们就有性质2.性质

2、2过多面体面上的任意一点作直线穿多面体，若这个多面体为凸多面体，则所做直线与多面体的面的公共点的个数为2个.性质2可述为“过凸多面体的面上任意一点作直线穿多面体，直线与该多面体而的公共点为2个”・根据线动成面的原理我们有性质3.性质3任作多面体的截面，若截面中有一个不是凸多边形，则该多面体不是凸多而体（证明略）.性质3的逆否命题成立，则有性质4.性质4任作多面体的截面，若该多面体是凸多面体，则所有截面均为凸多边形.性质4可简述为“凸多面体的任意截面为凸多边形”・2.多面体分类就简单多面体和凸多面体这两个概念的关系而言，

3、笔者认为中学数学课本中的“简单多面体”为属概念，而“凸多面体”为子概念,且以下几个事实成立.事实（一）若一个多面体为凸多面体，那么它必为简单多而体.证明：假设一个凸多面体表面连续变形后变成一个环面，如图2左所示•我们在环面上任取一条直线上的四点A、氏C、D,然后我们让环逐步释气，回复到大约如图2右的一个多面体•与A、B、C、D对应的四点分别为Al、Bl、Cl、D1它们应分布在“孔”的不同侧，我们把所在的面伸展为平面，则Al、D1两点分别应在这个平面的两侧，所以释气后得到的多面体不是凸多面体•即原多面体表面连续变形（表而

4、不会破裂）后是一个球面，而不会变成环面（或多环连通面），故假设不成立，原多面体为简单多面体•论毕.事实（二）一个简单多面体不一定是凸多面体.比如图3中的多面体是简单多面体，但它不是凸多面体•因为若将面SDC伸展成平面后，点A和点E不在平面的同一侧，所以它不是凸多面体•然而将这个多面体表面连续变形后表面必变为球面，所以它是简单多面体•故而简单多面体不一定是凸多面体.依据（一）和（二）我们可给多面体进行如下分类：2.凸多面体性质及多面体分类的应用例1给出下列命题：%1正四棱柱是正多面体.%1直四棱柱是简单多面体.%1简单多

5、面体就是凸多面体.%1以正四面体的各个面的中心为顶点的四面体仍为正四面体.其中正确命题的个数为（）A.1个2个C.3个D.4个解：正确命题为②④，答案为B.例2（人教2003版高中数学课本的第九章，习题9.9中的第13题）简单多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥的包含关系如何？用图表示.解：关系如图4所示.4•思考与练习：题1.根据性质2凸多面体的对角线与面的交点个数为・题2•根据性质4凸多面体的面为多边形.分享文档，传播知识，赠人以花，手自留香。