江苏专用高考数学复习第三章导数及其应用第5讲导数的综合应用__解决函数零点问题课件.pptx

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1、第5讲　导数的综合应用——解决函数零点问题知识梳理1.三次函数的零点分布三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x→∞时，函数值也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且x1＜x2的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零点分布情况如下：a的符号零点个数充要条件a＞0(f(x1)为极大值，f(x2)为极小值)一个f(x1)＜0或f(x2)>0两个f(x1)＝0或f(x2)＝0三个f(x1)＞0且f(x2)＜0a＜0(f(x1)为极小值，f(x2)为极大值)一个f(x2)＜0或f(x1)>

2、0两个f(x1)＝0或f(x2)＝0三个f(x1)＜0且f(x2)＞02.(1)研究函数零点问题或方程根问题的思路和方法研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底还是研究函数的图象，如单调性、值域、与x轴的交点等，其常用解法如下：①转化为形如f(x1)·f(x2)＜0的不等式：若y＝f(x)满足f(a)f(b)＜0，则f(x)在(a，b)内至少有一个零点；②转化为求函数的值域：零点及两函数的交点问题即是方程g(x)＝0有解问题，将方程分离参数后(a＝f(x))转化为求y＝f(x)的值域问题；③数形结合：将问题转化为y＝f(x)与y＝

3、g(x)的交点问题，利用函数图象位置关系解决问题.(2)研究两条曲线的交点个数的基本方法①数形结合法，通过画出两个函数图象，研究图象交点个数得出答案.②函数与方程法，通过构造函数，研究函数零点的个数得出两曲线交点的个数.1.方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数为________.解析设f(x)＝x3－6x2＋9x－10，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，由此可知函数的极大值为f(1)＝－6＜0，极小值为f(3)＝－10＜0，所以方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数为1.答案1诊断自测2.已知函数f(x)＝a

4、x3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则实数a的取值范围是________.∴g(x)在(－∞，－1)上递减，(－1，0)上递增，(0，1)上递增，(1，＋∞)上递减.又g(－1)＝－2，g(1)＝2，且当x<－1时，g(x)<0，当x>1时，g(x)>0，∴g(x)的大致图象如图：∴直线y＝a与y＝g(x)有唯一交点，且横坐标x0>0，只需a

5、－6恒成立，求实数m的最大值；(2)若0＜a＜1，b＞1，函数g(x)＝f(x)－2有且只有1个零点，求ab的值.∴(2x)2－2·2x＋1＝0，解得2x＝1，∴x＝0.故f(2x)≥mf(x)－6可化为t2－2≥mt－6，(2)∵0＜a＜1，b＞1，∴lna＜0，lnb＞0.g(x)＝f(x)－2＝ax＋bx－2.g′(x)＝axlna＋bxlnb且g′(x)为单调递增，值域为R的函数.∴g′(x)一定存在唯一的变号零点.∴g(x)为先减后增且有唯一极值点.由题意g(x)有且仅有一个零点.则g(x)的极值一定为0，而g(0)＝a0＋b0－

6、2＝0，故极值点为0.∴g′(0)＝0，即lna＋lnb＝0.∴ab＝1.考点一　利用图象研究函数的零点问题【例1】(2018·苏州期末)设函数f(x)＝x2＋3x＋3－a·ex(a为非零实数)，若f(x)有且仅有一个零点，则a的取值范围为________.令g′(x)＞0，可得x∈(－1，0)，令g′(x)＜0，可得x∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)，所以g(x)在(－1，0)上单调递增，在(－∞，－1)和(0，＋∞)上单调递减.由题意知函数y＝g(x)的图象与直线y＝a有且仅有一个交点，结合y＝g(x)及y＝a的图象可得a∈(0，e)∪(

7、3，＋∞).答案(0，e)∪(3，＋∞)规律方法含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来，用含x的函数表示参数，作出该函数图象，根据图象特征求出参数的范围.【训练1】已知函数f(x)的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表：f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示.当1

8、个数为4.答案4考点二　利用函数性质研究函数的零点问题【例2】已知函数f(x)＝ex－ax2.(1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一