一元二次函数的图像和性质—答案.doc

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1、【典例精讲】——答案题型一：二次函数的解读式的求法例1．已知二次函数满足且的最大值是8，求此二次函数的解读式。解法一：利用二次函数的一般式设由题意得：解得∴所求二次函数为解法二：设∴抛物线对称轴为又根据题意函数有最大值为解之得解法三：利用双根式由已知的两根为故可设，又函数有最大值即例2．设二次函数满足，且的两实数根平方和为10，图象过点(0,3),求的解读式.解设由知，该函数图象关于直线对称,∴即①又∵图象过点，∴c=3.②∴③由①②③得故8/8题型二：二次函数最值或值域问题例3．已知函数在区间[0,1]上的最大值是2，求实数a的值.解：，对称轴为（1

2、）当，即时，，由得，与矛盾，不合要求（2）当，即时，在[0,1]上单调递减，有，（3）当，即时，在[0,1]上单调递增，有，综上，得例4.已知函数在区间上的最大值为1，求实数的值。解：因为是求闭区间上的最值，则最大值可能产生在抛物线的端点或顶点上。即函数的最大值只能在或或处取得（1）令，解得，此时故的最大值不可能在处取得。（2）令，解得，此时（对称轴靠近，开口向上）故当时取得最大值1（3）令，解得，要使在处取得最大值，必需且，所以综上，所求的值为例5.已知函数，求函数在区间上的最大值解：（1）当即时，在上单调递增，此时（2）当，即时，8/8（3）当时，

3、在上单调递减。此时综上可知例6.函数在闭区间上的最小值为（1）试写出的函数表达式（2）求的最小值解：（1）当，即时，在上是减函数当，即时，当时，在上是增函数从而（2）当时，当时，当时，综上，的最小值为-8题型三：已知二次函数的解读式，求其单调区间；已知二次函数的某一单调区间，求参数的范围，这两类是常见题型，关键是利用二次函数的图像。例7．已知二次函数在上递减，则的取值范围是解：对称轴为要想在上递减，必需所以题型四：二次函数的综合应用例8．已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且它在y轴上的截距为4,又对任意的都有。（1）求二次函数的表达式；（2）若二

4、次函数的图象都在直线的下方，求c的取值范围.解：（1）解法一：的对称轴为8/8又为二次函数，可设又当时，得令，得解法二：令二次函数的图像与轴交于且设二次函数又所以（2）由条件知在上恒成立，即对恒成立例9.已知二次函数(a、b为常数且a≠0)满足条件：,且方程有等根.（1）求的解读式；（2）设，试求在区间[-1,1]上的最小值；（3）是否存在实数m、n(m

5、小值只需讨论区间两个端点-1与1离对称轴的距离.当，即时，为最小值；当，即时，为最小值.（3）假设存在这样的m、n满足条件，即故二次函数在区间［m,n］上是增函数，从而有∵m

6、次函数在区间内是单调函数，则实数a的取值范围是解:本题考查二次函数图象及其性质，由于二次函数的开口向上，对称轴为,若使其在区间内是单调函数，则需所给区间在对称轴的同一侧，即6.已知函数在闭区间上最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为解:∵,其对称轴为当时，,故,又∵,∴,∴.综上，.7.(2008·江西文，12）已知函数,,若对于任一实数,与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是解：若时，，，∵,∴符合题意.若时，在时，；在时，,∴需要在上恒成立.∴符合题意.若时,在时，。在时，∴需使在上恒成立，综上可知，.8、若函数,的图象关于对称，则.解:函数

7、的图象的对称轴为9.设二次函数的定义域为,,则的值域中有个整数.8/8解:∵函数的对称轴为∴函数在定义域,上单调递增，∴,10.已知函数.（1）若函数的最小值,且c=1,（2）若,且在区间(0,1］恒成立，试求b的取值范围.解:（1）由已知,且解得∴.（2），原命题等价于在(0,1］上恒成立，8/8