浙江专用高考数学大一轮复习第四章导数及其应用第4节导数与函数的零点课件.pptx

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1、考试要求能利用导数解决函数的零点、方程的根、曲线的交点等问题.第4节　导数与函数的零点知识梳理函数的零点、方程的根、曲线的交点，这三个问题本质上同属一个问题，它们之间可相互转化，这类问题的考查通常有两类：(1)讨论函数零点或方程根的个数；(2)由函数零点或方程的根的情况求参数的取值范围.[常用结论与易错提醒](1)注意构造函数；(2)注意转化思想、数形结合思想的应用.基础自测解析①当x≤0时，f(x)＝x＋3x，∵y＝x与y＝3x在(－∞，0)上都单调递增，∴f(x)＝x＋3x在(－∞，0)上也单调递增，又f(－1)<0，

2、f(0)>0，∴f(x)在(－1，0)内有一个零点.f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2).令f′(x)＝0得x＝2或x＝－2(舍)，当x∈(0，2)时，f′(x)<0，f(x)递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)递增，答案A它们的图象如图，函数m(x)与函数n(x)在(－∞，0)上有交点.答案B答案A4.(2018·江苏卷)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________.答案－3故g(x)至多有一个零点，从

3、而f(x)至多有一个零点.综上，f(x)只有一个零点.规律方法利用导数解决函数的零点问题的方法：(1)研究原函数的单调性、极值；(2)通过f(x)＝0变形，再构造函数并研究其性质；(3)注意零点判定定理的应用.【训练1】(2018·镇海中学模拟)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.解(1)f′(x)＝(2ex＋1)(aex－1)，若a≤0时，f′(x)＝(2ex＋1)(aex－1)<0.所以f(x)在R上为减函数；(2)因为方程2mf(x)

4、＝x2有唯一实数解，所以x2－2mlnx－2mx＝0有唯一实数解，因为m>0，所以Δ＝m2＋4m>0，当x∈(0，x2)时，g′(x)<0，g(x)在(0，x2)上单调递减；当x∈(x2，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在(x2，＋∞)上单调递增；当x＝x2时，g′(x2)＝0，则g(x)取得最小值g(x2).因为g(x)＝0有唯一解，所以g(x2)＝0，所以2mlnx2＋mx2－m＝0.因为m>0，所以2lnx2＋x2－1＝0.(*)设函数h(x)＝2lnx＋x－1，因为当x>0时，h(x)是增函数，所以h(x)＝0至

5、多有一解.因为h(1)＝0，所以方程(*)的解为x2＝1，规律方法(1)方程f(x)＝g(x)根的问题，常构造差函数解决；(2)对f(x)＝0，如果化为g(x)＝k(x)后，g(x)，k(x)图象容易画出，可数形结合求解.【训练2】(2019·北京通州区一模)已知函数f(x)＝xex，g(x)＝a(ex－1).a∈R.(1)当a＝1时，求证：f(x)≥g(x)；(2)当a>1时，求关于x的方程f(x)＝g(x)的实根个数.解设函数F(x)＝f(x)－g(x)＝xex－aex＋a.(1)证明：当a＝1时，F(x)＝xex－e

6、x＋1，所以F′(x)＝xex.所以x∈(－∞，0)时，F′(x)<0；x∈(0，＋∞)时，F′(x)>0.所以F(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.所以当x＝0时，F(x)取得最小值F(0)＝0.所以F(x)≥0，即f(x)≥g(x).(2)当a>1时，F′(x)＝(x－a＋1)ex，令F′(x)>0，即(x－a＋1)ex>0，解得x>a－1；令F′(x)<0，即(x－a＋1)ex<0，解得x

7、)取得极小值，即F(a－1)＝a－ea－1.令h(a)＝a－ea－1，则h′(a)＝1－ea－1.因为a>1，所以h′(a)<0.所以h(a)在(1，＋∞)上单调递减.所以h(a)0，所以F(x)在区间(a－1，a)上存在一个零点.所以在[a－1，＋∞)上存在唯一的零点.又因为F(x)在区间(－∞，a－1)上单调递减，且F(0)＝0，所以F(x)在区间(－∞，a－1)上存在唯一的零点0.所以函数F(x)有且仅有两个零点，即方程f(x)＝g(x)有两个实根.考点三　两

8、曲线的交点(公共点)【例3】(2018·江苏卷节选)记f′(x)，g′(x)分别为函数f(x)，g(x)的导函数.若存在x0∈R，满足f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.(1)证明：函数f(x)＝x与g(x)＝x2＋2x－2不存在“S点”；