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1、2012年上海高考数学（理科）试卷一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．计算：=（i为虚数单位）.2．若集合，，则=.3．函数的值域是.4．若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．在的二项展开式中，常数项等于.6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,…,Vn,…，则.7．已知函数（a为常数）.若在区间[1,+¥)上是增函数，则a的取值范围是.8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2p的半圆面，则该圆锥的体积为.9．已知是奇函数，且.若，则.xOMlaOMx
2、la10．如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角.若将的极坐标方程写成的形式，则.11．三位同学参加跳高、跳远、铅球工程的比赛.若每人都选择其中两个工程，则有且仅有两人选择的工程完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.12．在平行四边形ABCD中，∠A=,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是.13．已知函数的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(,5)，C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为.ABCD14．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2.
3、18/18若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15．若是关于x的实系数方程的一个复数根，则（）（A）.（B）.（C）.（D）.16．在中，若，则的形状是（）（A）锐角三角形.（B）直角三角形.（C）钝角三角形.（D）不能确定.17．设，.随机变量取值、、、、的概率均为0.2，随机变量取值、、、、的概率也为0.2.若记、分别为、的方差，则（）（A）＞.（B）＝.（C）＜.（D）与的大小关系与、、、的取值有关.18．设，.在中，正数的
4、个数是（）ABCDPE（A）25.（B）50.（C）75.（D）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，AD=2，PA=2.求：（1）三角形PCD的面积；（6分）（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）20．已知函数.（1）若，求的取值范围；（6分）（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数.（8分）21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角
5、坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海18/18xOyPA里A处，如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为.（1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）22．在平面直角坐标系中，已知双曲线.（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（4分）（2）设斜率为1的直线l交
6、于P、Q两点，若l与圆相切，求证：OP⊥OQ；（6分）（3）设椭圆.若M、N分别是、上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值.（6分）23．对于数集，其中，，定义向量集.若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P.例如具有性质P.（1）若x＞2，且，求x的值；（4分）（2）若X具有性质P，求证：1ÎX，且当xn＞1时，x1=1；（6分）（3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列的通项公式.（8分）2012年上海高考数学（理科）试卷解答一、填空题（本大题共有14题，满分56分）18/181．计算：
7、=1-2i（i为虚数单位）.2．若集合，，则=.3．函数的值域是.4．若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为arctan2（结果用反三角函数值表示）.5．在的二项展开式中，常数项等于-160.6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,…,Vn,…，则.7．已知函数（a为常数）.若在区间[1,+¥)上是增函数，则a的取值范围是(-¥,1].8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2p的半圆面，则该圆锥的体积为.xOMla9．已知是奇函数，且.若，则-1.10．如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹
8、角.若将的极坐标方程写成的形式，则.11．三位同学参加跳高、跳远、铅球工程的比赛.若每人都选择其中两个工程，则有且仅有两人选择的工程完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.12．在平行四边形ABCD中，∠A=,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N
