数学：1.4生活中的优化问题举例（人教A选修2-2）.ppt

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1、1.4生活中的优化问题举例第一章　导数及其应用学习导航学习目标重点难点重点:运用由导数求最值的方法解决生活中的优化问题.难点:由实际问题建立数学模型,并表示为适当的函数关系式.新知初探•思维启动1.优化问题生活中经常遇到求___________、_________、________等问题,这些问题通常称为优化问题.利润最大用料最省效率最高2.解决优化问题的基本思路函数导数典题例证•技法归纳题型一　面积、容积的最值问题(本题满分12分)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四个角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转9

2、0°角,再焊接而成(如图所示),问该容器的高为多少时,容器的容积最大？最大容积是多少？题型探究例1【思路点拨】设出所截正方形的边长为x,则该容器的底面边长和高均可用x表示,得到容积关于x的函数,用导数法求解.【解】设容器的高为xcm,容器的体积为V(x)cm3.则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4320x(0

3、0时,V′(x)>0,V(x)是增函数;6分当10

4、,已知在速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元.问此轮船以何种速度航行时,能使行驶每千米的费用总和最小？例2【名师点评】实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值,此时根据f′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后,函数在该点附近满足左减右增,则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值.例3(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售量价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.于是,当x变化时,f′(x),f(x

5、)的变化情况如下表:由上表可得,x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点.x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减所以,当x＝4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.【名师点评】解决此类有关利润的实际应用题,应灵活运用题设条件,建立利润的函数关系,常见的基本等量关系有:(1)利润＝收入－成本;(2)利润＝每件产品的利润×销售件数.变式训练备选例题某集团为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销,经调查,

6、每年投入广告费t(百万元),可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3).(1)若该公司将当年的广告费控制在300万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司由此获得的收益最大？解:(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t),则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3),∴当t＝2时,f(t)取得最大值4,即投入2百万元的广告费时,该公司由此获得的收益最大.又当0≤x<2时,g′(x)>0;当2

7、百万元用于广告促销,该公司由此获得的收益最大.方法技巧解决优化问题的基本步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x).(2)求导函数f′(x),解方程f′(x)＝0.方法感悟(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小,最大者为最大值,最小者为最小值.(4)依据实际问题的意义给出答案.失误防范(1)在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去.例如,长度、宽度应大于零,销售价格应为正数等等.(2)得出函数的最大值或最小值之后,一定要将数学

8、问题还原成实际问题.知能演练•轻松闯关本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放