北京专用2020届高考数学一轮复习第六章数列6.4数列求和数列的综合应用课件.pptx

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1、§6.4数列求和、数列的综合应用高考数学(北京专用)A组　自主命题·北京卷题组五年高考1.(2017北京,20,13分)设{an}和{bn}是两个等差数列,记cn=max{b1-a1n,b2-a2n,…,bn-ann}(n=1,2,3,…),其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs这s个数中最大的数.(1)若an=n,bn=2n-1,求c1,c2,c3的值,并证明{cn}是等差数列;(2)证明:或者对任意正数M,存在正整数m,当n≥m时,>M;或者存在正整数m,使得cm,cm+1,cm+2,…是等差数列.解析(1)c1=b1-a1=1-1=0,c2=max{b1-2a1,b2

2、-2a2}=max{1-2×1,3-2×2}=-1,c3=max{b1-3a1,b2-3a2,b3-3a3}=max{1-3×1,3-3×2,5-3×3}=-2.当n≥3时,(bk+1-nak+1)-(bk-nak)=(bk+1-bk)-n(ak+1-ak)=2-n<0,所以bk-nak关于k∈N*单调递减.所以cn=max{b1-a1n,b2-a2n,…,bn-ann}=b1-a1n=1-n.所以对任意n≥1,cn=1-n,于是cn+1-cn=-1,所以{cn}是等差数列.(2)证明:设数列{an}和{bn}的公差分别为d1,d2,则bk-nak=b1+(k-1)d2-[a1+(k-1)d1

3、]n=b1-a1n+(d2-nd1)(k-1).所以cn=①当d1>0时,取正整数m>,则当n≥m时,nd1>d2,因此cn=b1-a1n.此时,cm,cm+1,cm+2,…是等差数列.②当d1=0时,对任意n≥1,cn=b1-a1n+(n-1)max{d2,0}=b1-a1+(n-1)(max{d2,0}-a1).此时,c1,c2,c3,…,cn,…是等差数列.③当d1<0时,当n>时,有nd1

4、b1-d2

5、.对任意正数M,取正整数m>max,故当n≥m时,>M.2.(2016北京,20,13分)设数列A:a1

6、,a2,…,aN(N≥2).如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有aka1,则G(A)≠⌀;(3)证明:若数列A满足an-an-1≤1(n=2,3,…,N),则G(A)的元素个数不小于aN-a1.解析(1)G(A)的元素为2和5.(2)证明:因为存在an使得an>a1,所以{i∈N*

7、2≤i≤N,ai>a1}≠⌀.记m=min{i∈N*

8、2≤i≤N,ai>a1},则m≥2,且对任意正整数k

9、a1a1.由(2)知G(A)≠⌀.设G(A)={n1,n2,…,np},n1

10、ni}.如果Gi≠⌀,取mi=minGi,则对任何1≤k

11、-a1.思路分析(1)先理解G时刻的新定义,然后对(1)中具体的有穷数列直接套用定义解题,并感受解题规律;(2)根据an>a1,研究两者之间数列的变化趋势;(3)抓住数列中相邻两项之差不超过1的特征,完成证明.3.(2015北京,20,13分)已知数列{an}满足:a1∈N*,a1≤36,且an+1=(n=1,2,…).记集合M={an

12、n∈N*}.(1)若a1=6,写出集合M的所有元素;(2)若集合M存在一个元素是3的倍数,证明:M的所有元素都是3的倍数;(3)求集合M的元素个数的最大值.解析(1)6,12,24.(2)证明:因为集合M存在一个元素是3的倍数,所以不妨设ak是3的倍数.由an

13、+1=可归纳证明对任意n≥k,an是3的倍数.如果k=1,则M的所有元素都是3的倍数.如果k>1,因为ak=2ak-1或ak=2ak-1-36,所以2ak-1是3的倍数,于是ak-1是3的倍数.类似可得,ak-2,…,a1都是3的倍数.从而对任意n≥1,an是3的倍数,因此M的所有元素都是3的倍数.综上,若集合M存在一个元素是3的倍数,则M的所有元素都是3的倍数.(3)由a1≤36,an=可归纳证