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1、高考数学(北京专用)第三章导数及其应用§3.1导数的概念及运算A组 自主命题·北京卷题组五年高考1.(2014北京文,20,13分)已知函数f(x)=2x3-3x.(1)求f(x)在区间[-2,1]上的最大值;(2)若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围;(3)问过点A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切?(只需写出结论)解析(1)由f(x)=2x3-3x得f'(x)=6x2-3.令f'(x)=0,得x=-或x=.因为f(
2、-2)=-10,f=,f=-,f(1)=-1,所以f(x)在区间[-2,1]上的最大值为f=.(2)设过点P(1,t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0,y0),则y0=2-3x0,且切线斜率为k=6-3,所以切线方程为y-y0=(6-3)(x-x0),因此t-y0=(6-3)(1-x0).整理得4-6+t+3=0.设g(x)=4x3-6x2+t+3,则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”.g'(x)=12x2-12x=12x(x-1).g(
3、x)与g'(x)的变化情况如下表:x(-∞,0)0(0,1)1(1,+∞)g'(x)+0-0+g(x)↗t+3↘t+1↗所以,g(0)=t+3是g(x)的极大值,g(1)=t+1是g(x)的极小值.当g(0)=t+3≤0,即t≤-3时,此时g(x)在区间(-∞,1]和(1,+∞)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点.当g(1)=t+1≥0,即t≥-1时,此时g(x)在区间(-∞,0)和[0,+∞)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点.当g(0)>0且g(1)<0,即-3<
4、t<-1时,因为g(-1)=t-7<0,g(2)=t+11>0,所以g(x)分别在区间[-1,0),[0,1)和[1,2)上恰有1个零点.由于g(x)在区间(-∞,0)和(1,+∞)上单调,所以g(x)分别在区间(-∞,0)和[1,+∞)上恰有1个零点.综上可知,当过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时,t的取值范围是(-3,-1).(3)过点A(-1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切;过点B(2,10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切;过点C(0,2)存在1条直线与曲线y
5、=f(x)相切.评析本题主要考查导数的几何意义、导数的应用及函数方程问题,考查学生运用导数研究函数性质的能力,考查了函数与方程、等价转化等思想方法.2.(2013北京,18,13分)设L为曲线C:y=在点(1,0)处的切线.(1)求L的方程;(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.解析(1)设f(x)=,则f'(x)=.所以f'(1)=1.所以L的方程为y=x-1.(2)令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1).g(x
6、)满足g(1)=0,且g'(x)=1-f'(x)=.当01时,x2-1>0,lnx>0,所以g'(x)>0,故g(x)单调递增.所以,g(x)>g(1)=0(∀x>0,x≠1).所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.思路分析(1)先求导,再求切线斜率,进而得出切线方程;(2)令g(x)=x-1-f(x),待证等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1),再利用函数单调性和最值解决问题.一题多解(2)令g(x)=x-1-
7、f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1).令h(x)=x(x-1)-lnx,则g(x)=,并且h(1)=0,h'(x)=2x-1-=.当01时,h'(x)>0,h(x)单调递增.所以,h(x)>h(1)=0(∀x>0,x≠1).因此g(x)>0(∀x>0,x≠1).所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.3.(2013北京文,18,13分)已知函数f(x)=x2+xsinx+cosx.(1)若曲线y=f(
8、x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值;(2)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围.解析由f(x)=x2+xsinx+cosx,得f'(x)=x(2+cosx).(1)因为曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,所以f'(a)=a(2+cosa)=0,b=f(a).解得a=0,b=f(0)=1.(2)令f'(x)=0,得x=0.f(x)与f'(x)的情况如下:x(-∞,0)0(0,+∞)f'(x)-0+f(x)↘1↗所以函数f(x)在区间
