届高考数学快速提升成绩题型训练——轨迹问题.doc

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1、2010届高考数学快速提升成绩题型训练——轨迹问题1.已知平面平面，直线，点，平面、间的距离为4，则在内到点P的距离为5且到直线的距离为的点的轨迹是（）A.一个圆B.两条平行直线C.四个点D.两个点如图1，设点P在平面内的射影是O，则OP是、的公垂线，OP=4。在内到点P的距离等于5的点到O的距离等于3，可知所求点的轨迹是内在以O为圆心，3为半径的圆上。又在内到直线的距离等于的点的集合是两条平行直线m、n，它们到点O的距离都等于，所以直线m、n与这个圆均相交，共有四个交点。因此所求点的轨迹是四个

2、点，故选C。2在四棱锥中，面PAB，面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（）A.圆B.不完整的圆C.抛物线D.抛物线的一部分因为面PAB，面PAB，所以AD//BC，且。又，可得，即得16/16在平面PAB内，以AB所在直线为x轴，AB中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A（-3，0）、B（3，0）。设点P（x,y），则有，整理得由于点P不在直线AB上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B。3.如图,定点A和B都在平面内，定点PC是内异

3、于A和B的动点。且，那么动点C在平面内的轨迹是（）A.一条线段，但要去掉两个点B.一个圆，但要去掉两个点C.一个椭圆，但要去掉两个点D.半圆，但要去掉两个点因为，且PC在内的射影为BC，所以，即。所以点C的轨迹是以AB为直径的圆且去掉A、B两点，故选B。4.如图，在正方体中，P是侧面内一动点，若P到直线BC与直线的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线因为P到的距离即为P到的距离，所以在面内，P到定点的距离与P到定直线BC的距离相等。由圆锥曲线的定义知动点P的

4、轨迹为抛物线，故选D。5.已知正方体的棱长为1，点P是平面AC内的动点，若点P到直线的距离等于点P到直线CD的距离，则动点P的轨迹所在的曲线是（）A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.直线以A为原点，AB为x轴、AD为y轴，建立平面直角坐标系。设P（x,y），作于E、于F，连结EF，易知16/16又作于N，则。依题意，即，化简得故动点P的轨迹为双曲线，选B。6.已知异面直线a,b成角，公垂线段MN的长等于2，线段AB两个端点A、B分别在a,b上移动，且线段AB长等于4，求线段AB中点的轨迹方程。如图，

5、易知线段AB的中点P在公垂线段MN的中垂面上，直线、为平面内过MN的中点O分别平行于a、b的直线，于，于，则，且P也为的中点。由已知MN=2，AB=4，易知得。则问题转化为求长等于的线段的两个端点、分别在、上移动时其中点P的轨迹。现以的角平分线为x轴，O为原点建立如图所示的平面直角坐标系。设，，则消去m、n，得线段AB的中点P的轨迹为椭圆，其方程为。7.已知圆E的方程为(x-1)2+y2=1,四边形PABQ为该圆的内接梯形，底AB为圆的直径且在x轴上，以A、B为焦点的椭圆C过P、Q两点．(1)若

6、直线QP与椭圆C的右准线相交于点M，求点M的轨迹；16/16(2)当梯形PABQ周长最大时，求椭圆C的方程．解(1)设椭圆C：b2(x-1)2+a2y2=a2b2(a>b>0)，由题意知2c=2,故c=1,如图9-9，从而可得右准线的方程x=a2+1,…………………①设M(x,y)，P(x0,y0)，连PB，则有

7、PA

8、2+

9、PB

10、2=

11、AB

12、2,∴(

13、PA

14、+

15、PB

16、)2-2

17、PA

18、·

19、PB

20、=4，由此可得(2a)2-2·2

21、yP

22、=4，即yP=±(a2-1)，………………②于是，由①②得y=

23、±(x-2)．又∵点P(x0,y0)是圆E上的点，且不与AB重合，∴0<

24、y0

25、<1，故有0

26、AB

27、=2,于是，由图9-9可得

28、PA

29、=

30、BQ

31、=2cosθ,

32、PQ

33、=

34、AB

35、-2

36、BQ

37、cosθ=2-4cos2θ,图9-9∴周长L=(2-4cos2θ)+4cosθ+2．当时，周长L

38、取最大值5．此时

39、BQ

40、=1,

41、AQ

42、=，2a=

43、BQ

44、+

45、AQ

46、=1+,∴,，故所求椭圆的方程为．8.已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2，其中F1又是抛物线y2=416/16x的一个焦点，且点A(-1,2)，B(3,2)在双曲线上．(1)求点F2的轨迹。(2)是否存在直线y=x+m与点F2的轨迹有且只有两个公共点，若存在，求出实数m的值，若不存在，说明理由．解(1)由题意知F1(1,0)，设F2(x,y)，则

47、

48、AF1

49、-

50、AF2

51、

52、=

53、

54、BF1

55、-

56、BF2

57、

58、=2a>0．………………………