交通大学自主招生考试数学试题.doc

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1、2005年交通大学自主招生考试数学试卷一、填空题（每题5分，共50分）1．已知方程的两根、满足，则=．2．设，，则．3．已知，且，则．4．如图，将3个12×12的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分，将这6部分接在一个边长为的正六边形上，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积为．5．已知，、，则=．6．化简：．7．若，且，则．8．一只蚂蚁沿1×2×3立方体表面爬，从一条对角线一端爬到另一端所爬过的最短距离为．9．4封不同的信放入4个写好地址的信封中，全装错的概率为，恰好只有一封信装错的概率为．10．已知等差数列中，，则=．二、解答题（本大题共50分）1．已知方程的三

2、根分别为、、，且、、是不全为零的有理数，求、、的值．2．是否存在三边为连续自然数的三角形，使得（1）最大角是最小角的两倍？6/6（2）最大角是最小角的三倍？若存在，分别求出该三角形；若不存在，请说明理由．3．已知函数的最大值为9，最小值为1，求实数、的值．4．已知月利率为，采用等额还款方式，若本金为1万元，试推导每月等额还款金额关于的函数关系式（假设贷款时间为2年）．5．对于数列：1,3,3,3,5,5,5,5,5，…，即正奇数有个，是否存在整数、、，使得对于任意正整数，都有恒成立（表示不超过的最大整数）？6/62005年交通大学自主招生考试试卷参考答案一、填空题（每题5分，共50

3、分）1．【答案】．【解答】=，当=时取等号．2．【答案】或．【解答】设，因为，所以．由，得，即．解得或（舍）．所以，解得或．3．【答案】-2005．【解答】，比较得．4．【答案】864．【解答】如图，所得到的多面体相当于将四面体截去三个角、、，这三个小四面体都与相似，相似比为，且的三条侧棱两两互相垂直，．所以多面体体积为．5．【答案】．【解答】由，得．6/6又因为、，且，所以，，解得，．6．【答案】．【提示】按的奇偶性分类讨论，或找规律．7．【答案】【解答】由，得，故或=0．又因为，所以当时，上式=25；当=0时，则上式=19．8．【答案】．【提示】看侧面展开图（有三种不同情况）．

4、9．【答案】；0．【解答】全装错的概率是；只有一封信装错是不可能事件，概率是0．10．【答案】33．【解答】则．二、解答题（本大题共50分）1．【解答】由韦达定理，得若，则∴，即或．∴．若，由（3）式，得，代入（2），得，而由（1），得，6/6∴．∴，即．若有有理根，其中，、，则．∴为偶数，令，．代入得，∴也为偶数，这与矛盾．∴无有理根．∴，．∴综合上述，或．2．【解答】设三角形三边长为、、，它们所对角分别为、、．（1）由余弦定理，得，．若，则．代入化简，得，即．∴，该三角形三边长为4、5、6．（2）如图，设∠，则∠=3∠=3，过点作交于点，使∠，∴△为等腰三角形又∠∠，∴△也为等

5、腰三角形．∵，，，，∴．整理，得，无正整数．∴满足条件的三角形不存在．3．【解答】将函数表达式整理，得，6/6由判别式，得．依题意，上述不等式解集为．∴．经检验，满足题意．4．【解答】依题意，，∴．5．【解答】当时，表示第个奇数，∴．∵，∴，∴．取，，，对任意，有，即存在满足题意得整数、、．6/6