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《（课标专用）天津市2020高考数学专题二函数与导数2.3二利用导数解不等式及参数的取值范围课件.pptx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、二利用导数解不等式及参数的取值范围-2-突破点一突破点二突破点三利用导数证明不等式【例1】(2019天津和平区第二学期高三调研)已知函数(1)求k的值.(2)求函数f(x)的单调区间.(3)设g(x)=(x2+x)f'(x),其中f'(x)为f(x)的导函数.证明:对任意x>0,g(x)<1+e-2.分析推理(1)由题意,求出函数的导函数,由导数的几何意义和已知可得f'(1)=0,解方程即可求得k值;(2)求函数的导数,判断导函数的符号求出函数的单调区间;(3)首先写出等价不等式,然后根据不等式的结构特征构造相应的两个函数,利用导数研究两个函数的最值,进而证得不等式.-3-突破点
2、一突破点二突破点三即k(x)在区间(0,+∞)内是减函数.由k(1)=0知,当00,从而f'(x)>0;当x>1时,k(x)<0,从而f'(x)<0.综上可知,f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).-4-突破点一突破点二突破点三(3)证明:因为g(x)=(x2+x)f'(x),设h(x)=1-x-xlnx,x∈(0,+∞),则h'(x)=-lnx-2=-(lnx-lne-2),x∈(0,+∞).当x∈(0,e-2)时,h'(x)>0,故h(x)单调递增;当x∈(e-2,+∞)时,h'(x)<0,故h(x)单调递减.所以,h(x)的最
3、大值为h(e-2)=1+e-2,则1-x-xlnx≤1+e-2.设φ(x)=ex-(x+1),因为φ'(x)=ex-1=ex-e0,所以当x∈(0,+∞)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增.-5-突破点一突破点二突破点三因此,对任意x>0,g(x)<1+e-2.规律方法利用导数证明不等式,主要是构造函数,通过导数判断函数的单调性,由函数的单调性证明不等式成立,或通过求函数的最值,当该函数的最大值或最小值使不等式成立时,不等式恒成立,从而可将不等式的证明转化为求函数的最值.-6-突破点一突破点二突破点三即时巩固1(2019天津蓟州等部分区联考)已知函数f(x)=alnx+x2,其
4、中a∈R.(1)讨论f(x)的单调性.(2)当a=1时,证明:f(x)≤x2+x-1.-7-突破点一突破点二突破点三-8-突破点一突破点二突破点三(2)证明:当a=1时,f(x)=lnx+x2.要证明f(x)≤x2+x-1,即证lnx≤x-1,即lnx-x+1≤0.令g'(x)=0,得x=1.当x∈(0,1)时,g'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0.所以x=1为极大值点,也为最大值点,所以g(x)≤g(1)=0,即lnx-x+1≤0.故f(x)≤x2+x-1.-9-突破点一突破点二突破点三(3)证明:由(2)知,lnx≤x-1.-10-突破点一突破点二突破点三利用
5、导数解与不等式恒成立有关的问题【例2】(2019天津十二重点中学高三联考(二))已知函数f(x)=(ax2+x+a)e-x(a∈R).(1)当a=0时,求f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程.(2)若a≥0,求函数f(x)的单调区间.(3)若对任意的a≤0,f(x)≤bln(x+1)在x∈[0,+∞)内恒成立,求实数b的取值范围.分析推理(1)利用函数和导函数的解析式求得切点和切线斜率,从而得到切线方程;(2)通过导函数的结构特征判断其符号的变换,根据参数a的符号对导函数符号的变换进行分类讨论;(3)首先确定不等式,然后构造相应的函数h(x)=bln(x+1)-xe-x
6、,根据b的取值不同进行分类讨论,进而确定b的取值范围.-11-突破点一突破点二突破点三解:(1)当a=0时,f(x)=x·e-x.则f'(x)=e-x-x·e-x=e-x(1-x),故f'(0)=1,f(0)=0,f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为y=x.(2)由题意,f'(x)=(2ax+1)e-x-(ax2+x+a)e-x=-e-x[ax2+(1-2a)x+a-1]=-e-x(x-1)·(ax+1-a).①当a=0时,f'(x)=-e-x(x-1),令f'(x)>0,得x<1;f'(x)<0,得x>1,所以f(x)在区间(-∞,1)内单调递增,在区间(1,+∞)
7、内单调递减.-12-突破点一突破点二突破点三(3)令g(a)=e-x(x2+1)a+xe-x,a∈(-∞,0].当x∈[0,+∞)时,e-x(x2+1)≥0,g(a)单调递增,则g(a)max=g(0)=xe-x,则g(a)≤bln(x+1)对∀a∈(-∞,0]恒成立等价于bln(x+1)≥g(a)max=g(0),即xe-x≤bln(x+1)对x∈[0,+∞)恒成立.当b≤0时,∀x∈(0,+∞),bln(x+1)<0,xe-x>0,此时xe-x>bln(x+1),不合题意,舍
