江苏高中数学竞赛预赛试题.doc

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1、智浪教育—普惠英才文库江苏省高中数学竞赛预赛试题本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题共36分）一．选择题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数y=f(x)的图像按=(，2)平移后，得到的图像的解析式为y=sin(x+)+2，那么y=f(x)的解析式为()A．y=sinxB．y=cosxC．y=sinx+2D．y=cosx+4解:y=sin[(x++],即y=cosx.故选B．2．

2、如果二次方程x2－px－q=0(p，q∈N*)的正根小于3，那么这样的二次方程有()A．5个B．6个C．7个D．8个解：由D=p2+4q>0，－q<0，知方程的根一正一负．设f(x)=x2－px－q，则f(3)=32－3p－q＞0，即3p+q＜9.由p，q∈N*，所以p=1，q≤5或p=2，q≤2.于是共有7组(p，q)符合题意．故选C．3．设a>b>0，那么a2+的最小值是（）A．2B．3C．4D．5解：由a>b>0，可知0

3、CD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α()A．不存在B．只有1个C．恰有4个D．有无数多个解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m、n确定了平面β，作与β平行的平面α与四棱锥侧棱相截，则截得的四边形是平行四边形．这样的平面α有无数多个．故选D．5．设数列{an}：a0=2,a1=16，an+2=16an+1－63an(n∈N)，则a2005被64除的余数为()A．0B．2C．16D．48解：数列{an}模64周期地为2，16，2，－16

4、，又2005被4除余1，故选C．6．一条走廊宽2m、长8m，用6种颜色的1´1m2的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的，每种颜色的地砖都足够多)，要求相邻的两块地砖颜色不同，那么所有的不同拼色方案种数有()6智浪教育—普惠英才文库A．308B．30´257C．30´207D．30´217解：铺第一列(两块地砖)有30种方法；其次铺第二列，设第一列的两格铺了A、B两色(如图)，那么，第二列的上格不能铺A色，若铺B色，则有(6－1)种铺法；若不铺B色，则有(6－2)2种方法，于是第二列上共有21种铺法．同

5、理，若前一列铺好，则其后一列都有21种铺法.因此，共有30´217种铺法．故选D．二．填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.7．设向量绕点O逆时针旋转得，且2+=（7，9），则向量=．解：设=（m，n），则=（－n，m），所以2+=（2m－n，2n+m）=（7，9），即得因此，=(，），=（－，)．故填（－，)．8．设无穷数列{an}的各项都是正数，Sn是它的前n项之和，对于任意正整数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，则该数列的通项公式为．解：由题意知=，即Sn=．①由①式，=，得

6、a1=2．又由①式得Sn－1=(n≥2)②则有an=Sn－Sn－1=－(n≥2)，整理得(an+an－1)(an－an－1－4)=0．又因为an>0，an－1>0，所以an－an－1=4(n≥2)，a1=2.因此,数列{an}是以2为首项，4为公差的等差数列，其通项公式为an=2+4(n－1)，故填an=4n－2(n∈N*)．9．函数y=

7、cosx

8、+

9、cos2x

10、(x∈R)的最小值是．解：令t=

11、cosx

12、∈[0，1]，则y=t+

13、2t2－1

14、．当≤t≤1时，y=2t2+t－1=2(t+)2－，得≤

15、y≤2．当0≤t<时，y=－2t2+t+1=－2(t－)2+，得≤y≤．又y可取到．故填．6智浪教育—普惠英才文库10．在长方体中ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=1，点E、F、G分别是棱AA1、C1D1与BC的中点，那么四面体B1－EFG的体积是．解：在D1A1的延长线上取一点H，使AH=，易证，HE∥B1G，HE∥平面B1FG．故V=V=V=V．而SD=，G到平面B1FH的距离为1．故填V=．11．由三个数字1，2，3组成的5位数中，1，2，3都至少出现1次，这样的5位数共有个

16、．解：在5位数中，若1只出现1次，有C(C+C+C)=70个；若1只出现2次，有C(C+C)=60个；若1只出现3次，有CC=20个．所以这样的五位数共有150个．故填150．12．已知平面上两个点集：M={(x，y)

17、

18、x+y+1

19、≥，x，y∈R}，N={(x，y)

20、

21、x－a

22、+

23、y－1

24、≤1，x，y∈R}，若M∩N≠Æ，则a的取值范围为．解：由题意知M是以原点为焦点，直线x+y+1=0为准线的抛物线及其凹口内侧的点集，N是以(a，1)为中心的正方形及