高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例课件.pptx

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1、1．4生活中的优化问题举例自主学习新知突破1．通过实例体会导数在解决实际问题中的应用．2．能够利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．3．提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归转化的思想意识．下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则对消费者而言，选择哪一种更合算呢？[提示]对消费者而言，选择规格为2L的饮料更为合算．规格(L)21.250.6价格(元)5.14.52.5利用导数解决有关函数的最大值、最小值的实际问题，体现在以下几个方面：(1)与几何有关的最值问题(求几何图形或几何体的面积与体积的最

2、值)；(2)与物理学有关的最值问题；(3)与利润及其成本有关的最值问题．导数在实际生活中的应用解决优化问题的基本思路解决优化问题的一般步骤：(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清问题和结论，找出问题的主要关系．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型，主要是函数模型：引入恰当的变量，把待求最值的对象表示为该变量的函数．(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解．此处主要是利用导数求函数最值．(4)结合实际问题的实际意义，对结果进行验证评估，定性定量分析，作出正确的判断，并确

3、定其答案．答案：C解析：原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.答案：D3．做一个容积为256dm3的方底无盖水箱，它的高为________dm时最省材料．答案：4合作探究课堂互动面积容积最大最小问题用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器．先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°，再焊接而成．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解决面积或体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体

4、积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．1．用长为18m的钢条围成一个长方体的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？费用最省(成本最低)问题令h′(x)＝0，得x＝80，当x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；当x∈(80,120]时，h′(x)>0，h(x)是增函数．∴当x＝80时，h(x)取到极小值h(80)＝11.25.∵h(x)在(0,120]上只有一个极值，∴它是最小值．答：当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时

5、，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．1.用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际做答．2．利用导数的方法解决实际问题．当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．利润最大问题某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12

6、－x)2万件．(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出利润L的最大值Q(a)．1.利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．求解时要注意：①价格要大于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．2．用导数解最值应用题，一般应分为五个步骤：(1)建立函数关系式y＝f(x)；(2)求导函数y′；(3)令y′＝0，求出相应的x0；(4)指出x＝x0处是最值点的理由；(5)对题目

7、所问作出回答，求实际问题中的最值问题时，可以根据实际意义确定取得最值时变量的取值．3．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解析：(1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝

8、(21－x)(432＋kx2)．又由已知条件，24＝k×22，于是有k＝6，所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21]．(2)根据(1)，f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故当x＝12时