高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例学案含解析

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1、1.4生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例[提出问题]某厂家计划用一种材料生产一种盛500mL溶液的圆柱形易拉罐．问题1：生产这种易拉罐，如何计算材料用得多少呢？提示：计算出圆柱的表面积即可．问题2：如何制作使用材料才能最省？提示：要使用料最省，只需圆柱的表面积最小．可设圆柱的底面半径为x，列出圆柱表面积S＝2πx2＋(x＞0)，求S最小时，圆柱的半径、高即可．1．优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．用导数解决优化问题的基本思路1．在求实际问题的最大

2、(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．2．在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的取值范围．利用导数解决面积、体积最值问题　如图①，∠ACB＝45°，

3、BC

4、＝3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折叠，使∠BDC＝90°(如图②所示)．当BD的长为多少时，三棱锥ABCD的体积最大？14　在如图①所示的△ABC中，设

5、BD

6、＝x(0＜x＜3)，则

7、CD

8、＝3－x.由AD⊥BC，∠

9、ACB＝45°知，△ADC为等腰直角三角形，所以

10、AD

11、＝

12、CD

13、＝3－x.由折叠前AD⊥BC知，折叠后，如图②所示，AD⊥DC，AD⊥BD，且BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD.又∠BDC＝90°，所以S△BCD＝

14、BD

15、·

16、CD

17、＝x(3－x)．于是VABCD＝

18、AD

19、·S△BCD＝(3－x)·x(3－x)＝(x3－6x2＋9x)．令f(x)＝(x3－6x2＋9x)，由f′(x)＝(x－1)·(x－3)＝0，且0＜x＜3，解得x＝1.当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；当x∈(1,3)时，f′(x)＜

20、0.所以当x＝1时，f(x)取得最大值f(1)＝，即VABCD取得最大值.故当

21、BD

22、＝1时，三棱锥ABCD的体积最大．利用导数解决优化问题的一般步骤(1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数解析式y＝f(x)．(2)求函数f(x)的导数f′(x)，并解方程f′(x)＝0，即求函数可能的极值点．(3)比较函数f(x)在区间端点的函数值和可能极值点的函数值的大小，得出函数f(x)的最大值或最小值．(4)根据实际问题的意义给出答案．如右图，要设计一矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分

23、)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？14解：设广告牌的高和宽分别为xcm、ycm，则每栏的高和宽分别为x－20，，其中x>20，y>25.两栏面积之和为2(x－20)·＝18000，由此得y＝＋25.广告牌面积为S(x)＝x＝＋25x，∴S′(x)＝＋25＝＋25.令S′(x)>0，得x>140；令S′(x)<0，得20

24、在(20,140)上单调递减，∴S(x)的最小值为S(140)．当x＝140时，y＝175，即当x＝140，y＝175时，S(x)取得最小值24500，故当广告牌的高为140cm，宽为175cm时，可使广告牌的面积最小.利用导数解决费用最省问题　　　为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热

25、层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式．(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求出最小值．　(1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝(0≤x≤10)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.而建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x14＝＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－，令f′(x)＝0，即＝6，解得x＝5或x＝－

26、(舍去)．当0＜x＜5时，f′(x)＜0；当5＜x＜10时，f′(x)＞0，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元．解决优化问题应关注两点(1)在列函数解析式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f