中小学生课堂故事博览-无限的交响乐—极限的故事

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1、无限的交响乐──极限的故事“无限”的诞生无限的思想诞生于何时何地，如今已难确切查考了。然而古希腊学者欧几里得（Euclid，公元前330～前275）的名著——《几何原本》第九卷中对质数无限性的认识十分精彩。文中全部用几何的方式，表述了一个纯粹数的问题！其中“测量”一词，即算术中的“除尽”。“质数比任何给定的一批质数都多。”“假设A，B，C是指定的质数；我说除了A，B，C之外还有其他的质数。事实上，取A，B，C所能测量的最小数，设它为DE；把单位DF加到DE上。于是EF或者是质数或者不是。首先，假设EF是质数，那么我们已得到了质数A，B，C

2、，EF，它比质数A，B，C要多。其次假设EF不是质数，从而它必能被某个质数所测量。假设它能被质数G测量。我说G和数A，B，C，都不相同。因为，如果可能的话，假定G和A，B，C中的某个数相同。那么由于A，B，C能测量DE，所以G也能测量DE。但G还能测量EF。所以G作为一个数，它就能测量余数，也就是单位DF；而这是荒谬的！所以，G与A，B，C当中的任何一个数都不相同。并且按照假设，G是质数。所以我们就找到了质数A，B，C，G，它比给定的一批质数A，B，C更多”。这个证明可以推广到多个质数的情形，即若2，3，5，7，11⋯⋯，P为所有不大于P

3、的质数，则2×3×5×7×11×⋯⋯×P＋1=N数N或者是质数，或者所有的质因子都大于P。在他之前约200年，另一位古希腊学者芝诺（Zenon，公元前496～前429）曾提出一个著名的“追龟”诡辩题。从中，我们可以看到当时人类对“无限”的认识，及理解上的局限。大家知道，乌龟素以动作迟缓著称，阿基里斯则是古希腊传说中的英雄，善跑的神。芝诺断言：阿基里斯与龟赛跑，将永远追不上乌龟！芝诺的理由是：如图所示假定阿基里斯现在A处，乌龟现在T处。为了赶上乌龟，阿基里斯先跑到乌龟的出发点T，当他到达T点时，乌龟已前进到T1点；当他到达T1点时，乌龟又已

4、前进到T2点，如此等等。当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地方，乌龟已又向前爬动了一段距离。因此，阿基里斯是永远追不上乌龟的！芝诺的论断显然与常理相悖。由于当时人类只有粗糙的无限观念，数学家们曾经错误地认为：无限多个很小的量，其和必为无限大。芝诺正是巧妙地钻了这个空子：把有限长的线段分成无限多个很小线段的和；把有限的时间可以完成的运动，分成无限多段很短的时间来完成。芝诺的“追龟”问题，无疑是向当时错误的“无限”观念提出了挑战。数学家们感到数学面临着潜在的危机！后来人们终于弄清楚，要克服上述危机，需要一场观念上的革命。即无限多个很小的量的和，未

5、必是无限大！“无限”地累加，也可能得出有限的结果！让我们再看一看追龟问题。设阿基里斯的速度是乌龟的十倍，龟在前面100洣。当阿基里斯跑了100洣时，龟已前进了10洣；当阿基里斯再追10洣时，1龟又前进了1洣；阿再追1洣；龟又进了洣，⋯⋯。于是：阿基里斯追上100乌龟所跑的路程S：（单位洣）11S＝100+10+1+++⋯⋯10100上式右端是无限多个很小量的和，然而它却是有限的！为了让读者理解这一点，我们先从等比数列的知识讲起。一个数列，如果从第二项起每项与前一项的比是个常数，我们把这个数列叫做等比数列，常数叫这个等比数列的公比，例如①1

6、，2，22，23，24，⋯⋯263②1，7，72，73，74⋯⋯都是等比数列。现在假定有一等比数列，第一项为a，公比为q∶a，aq，aq2，⋯⋯，aqn-1怎样去求它的前n项和Sn呢？一个颇为巧妙的办法是：把Sn乘以q，然后错位相减，即：Sn＝a＋aq＋aq2＋⋯⋯＋aqn-1q·Sn=aq+aq2+aq3+aqnSn（1－q）＝a－aqnna(1-q)Sn=1-q这样，我们得出了一个很有用的公式。当等比数列的公比q的绝对值小于1时，数列的项无穷递缩，越来越趋近于0。此时，虽然项数有无限多个，但它们的和却是个有限的数。事实上，当0＜｜q｜

7、＜1时：S＝a＋aq＋aq2＋⋯＋aqn-1＋⋯=limSnn→¥na(1-q)=limn→¥1-qa=1-q上式中符号“lim”，“是英语limit（极限）一词的缩写”。表示“当n趋于无穷时某式的极限”。应用上述公式可以算得追龟问题中阿基里斯的追及路程：11S=100+10+1+++⋯⋯102101001000==(洣)191-10与古希腊相比，我们的祖先对“无限”的概念可要明确得多。几乎与芝诺处于同一时代的墨子（公元前468～前367）就曾提出过“莫不容尺，无穷也”的见解。这就是说，有这样一种量，用任意长的线段去量它，它都能容纳得下。

8、这是明显的“无限”的思想。稍后于墨子的《庄子》一书，更提到“至大无外，至小无内”。前半句讲的是无限大，后半句讲的是无限小。该书《天下篇》中还有一句名言：“一尺之棰，日取其半，万世不竭！”意思是