中小学生课堂故事博览_数学中运动哲学—函数故事

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1、数学中的运动哲学──函数的故事永恒运动着的世界天地之间的万物都在时间长河中流淌着，变化着。从过去变化到现在，又从现在变化到将来。静止是暂时的，运动却是永恒！大概再没有什么能比闪烁在天空中的星星，更能引起远古人的遐想。他们想象在天庭上有一个如同人世间繁华的街市，那些本身发着亮光的星宿一直忠诚地守护在天宫的特定位置，永恒不动的。后来，这些星星便区别于月亮和行星，称之为恒星。其实，恒星的称呼是不确切的，只是由于它离我们太远了，以至于它们之间的任何运动，都慢得使人一辈子感觉不出来！北斗七星，是北天最为明显的星座之一。在北天的夜空是很容易辨认的。大概所有的人一辈子见到的北斗七星，总是如同

2、上页图那般形状。人的生命太短暂了！几十年的时光，对于天文数字般的岁月，是几乎可以忽略不计的！然而有幸的是：现代科学的进展，使我们有可能从容地追溯过去和精确地预测将来。左图的（1）、（2）、（3）是经过测算，人类在十万年前、现在和十万年后应该看到和可以看到的北斗七星，它们的形状是大不一样的！不仅天在动，而且地也在动。火山的喷发，地层的断裂，冰川的推移，泥石的奔流，这一切都还只是局部的现象。更令人不可思议的是；我们脚下站立着的大地，也像水面上的船只那样，在地幔上缓慢地漂移着！由此可见，这个世界的一切量，都跟随着时间的变化而变化。时间是最原始的自行变化的量，其他量则是因变量。一般地说

3、，如果在某一变化过程中有两个变量X，y，对于变量X在研究范围内的每一个确定的值，变量y都有唯一确定的值和它对应，那么变量X就称为自变量，而变量y则称为因变量，或变量X的函数，记为：y＝f（x）函数一语，起用于公元1692年，最早见自德国数学家莱布尼兹的著作。记号f（x）则是由瑞士数学家欧拉于公元1724年首次使用的。上面我们所讲的函数定义，属于德国数学家黎曼（Riemann，1826～1866）。我国引进函数概念，始于1859年，首见于清代数学家李善兰（1811～1882）的译作。一个量如果在所研究的问题中保持同一确定的数值，这样的量我们称为常量。常量并不是绝对的。如果某一变量

4、在局部时空中，其变化是那样地微不足道，那么这样的量，在这一时空中便可以看成常量。例如读者所熟知的“三角形内角和为180°”的定理，那只是在平面上才成立的。但绝对平的面是不存在的。即使是水平面，由于地心引力的关系，也是呈球面弯曲的。然而，这丝毫没有影响广大读者，去掌握和应用平几的这条定理！又如北斗七星，它前十万年与后十万年的位置是大不相同的。但在近几个世纪内，我们完全可以把它看成是恒定的，甚至可以利用它来精确判定其他星体的位置！谈“守株待兔”《守株待兔》这则寓言，出自先秦著作《韩非子》。家喻户晓，至今已经流传了二千二百多年。两千年来，人们一直认为“待兔”不得，罪在“守株”！其实，

5、抱怨“守株”是没有道理的。问题的关键在于兔子的运动规律。如果通往大树的路是兔子所必经的，那么‘守株”又将何妨？然而世界是一个不断运动的世界。兔子的活动，在时空的长河中，划出一条千奇百怪的轨迹，希望这条轨迹能与树木在时空中的轨线再次相交，无疑是极为渺茫的，因此，这正是这位农人悲剧之所在！下面一则更为精妙的例子，可以使人们生动地看到问题的症结。意大利文艺复兴时期的艺术大师列奥纳多·达·芬奇（Le-onardodaVinci，1452～1519）曾提出过一个饶有趣味的“饿狼扑兔”问题：一只兔子正在洞穴（C）南面60码的地方（o）觅食，一只饿狼此刻正在兔子正东100码的地方（A）游荡。

6、兔子回首间猛然遇见了饿狼贪婪的目光，预感大难临头，于是急忙向自己的洞穴奔去。说时迟，那时快，恶狼见即将到口的美食就要失落，立即以一倍于兔于的速度紧盯着兔子追去。于是，狼与兔之间，展开了一场生与死的惊心动魄的追逐。问：兔子能否逃脱厄运？有人作过以下一番计算：以O为原点，OA，OC分别为X，Y轴，以1码为单位长。则OA＝100，OC＝60。根据勾股定理，在Rt△AOC中2222AC=OA+CO=100+60=116.6这意味着；倘若饿狼沿AC方向直奔兔子洞穴，那么由于兔子速度只有狼速度的一半，当饿狼到达兔穴洞口时，兔子只跑了116.6＋2＝58.3码距离，离洞口尚差1.7码。这时先

7、行到达洞口的饿狼，完全可以守在洞口，“坐等”美餐的到来！以上计算似乎天衣无缝，结论只能是兔子厄运难逃。可实际上这是错误的！饿狼不可能未卜先知地直奔兔穴洞口去“坐守”，它的策略只能是死死盯住运动中的兔子，这样它本身也就运动成一条曲线，这条曲线可以用解析的方法推导出来：311200y=x2-10x2+3032当x=0时，代入上式得y＝6632这意味着，如若北边没有兔子洞，那么当兔子跑到离原点66码的B点时，3恰被饿狼逮住。然而有幸的是，兔子洞离原点仅有60码，此时此刻兔子早已安然进洞了！随着“饿