2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的简单几何性质课时规范训练新人教A版选修1_1.doc

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1、2.3.2抛物线的简单几何性质基础练习1．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是(　　)A．(1,2)　　　B．(2,1)C．(2,3)　　D．(3,2)【答案】D【解析】将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3.∴＝＝＝2.∴所求点的坐标为(3,2)．2．(2018年云南文山模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为(　　)A．2　B．4　　C．6D．8【答案】A【解析】由已知可知抛物线的准线x

2、＝－与圆(x－3)2＋y2＝16相切，圆心为(3,0)，半径为4，圆心到准线的距离d＝3＋＝4.解得p＝2.3．(2019年黑龙江哈尔滨九中模拟)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝，则

3、QF

4、等于(　　)A．　B．3　C．　D．2【答案】B【解析】设点Q到l的距离为d，则

5、QF

6、＝d.∵＝4，∴

7、PQ

8、＝3d.不妨设直线PF的斜率为－＝－2.∵F(2,0)，∴直线PF的方程为y＝－2(x－2)，与y2＝8x联立，得x＝1.∴

9、QF

10、＝d＝1＋2＝3.故选B

11、．4．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若

12、FA

13、＝2

14、FB

15、，则k的值为(　　)-4-A．B．C．D．【答案】D【解析】C的准线为l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)过定点P(－2,0)．过点A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，由

16、FA

17、＝2

18、FB

19、，则

20、AM

21、＝2

22、BN

23、，点B为AP的中点．连接OB，则

24、OB

25、＝

26、AF

27、，∴

28、OB

29、＝

30、BF

31、.∴点B(1，2)．∴k＝＝.故选D．5．(2019年山西临汾期末)已知抛物线C1：x2＝2py(p>0)的准

32、线与抛物线C2：x2＝－2py(p>0)交于A，B两点，C1的焦点为F，若△FAB的面积等于1，则C1的方程是________________．【答案】x2＝2y【解析】由题意得F，不妨设A，B，∴S△FAB＝·2p·p＝1，则p＝1，即抛物线C1的方程是x2＝2y.6．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是__________________________________________________．【答案】y2＝±x【解析】该等边三角形的高为，点A的坐标为或

33、.可设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)．A在抛物线上，因而p＝±.因而所求抛物线方程为y2＝±x.7．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．解：如图，由抛物线的标准方程可知焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1.由题意，直线AB的方程为y＝x－1，代入抛物线方程y2＝4x，整理得x2－6x＋1＝0.(方法一)由x2－6x＋1＝0，得x1＋x2＝6，x1·x2＝1，∴

34、AB

35、＝

36、x1－x2

37、-4-＝×＝×＝8.(方法二)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定

38、义可知

39、AF

40、＝

41、AA1

42、＝x1＋1，

43、BF

44、＝

45、BB1

46、＝x2＋1，∴

47、AB

48、＝

49、AF

50、＋

51、BF

52、＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.8．设抛物线C：y2＝2px(p>0)上有两动点A，B(AB不垂直于x轴)，F为焦点且

53、AF

54、＋

55、BF

56、＝8，线段AB的垂直平分线恒过定点Q(6,0)，求抛物线C的方程．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，则x1＋x2＝8－p.又

57、QA

58、＝

59、QB

60、，∴(x1－6)2＋y＝(x2－6)2＋y，即(x1＋x2－12)(x1－x2)＝2p(x2－x1)．∵x1≠x2，∴x1

61、＋x2＝12－2p.∴12－2p＝8－p.解得p＝4.∴所求抛物线C的方程为y2＝8x.能力提升9．过抛物线y2＝4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A，B两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(　　)A．有且仅有一条　B．有两条C．有无穷多条D．不存在【答案】B【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义知

62、AB

63、＝x1＋x2＋p＝5＋2＝7.又直线AB过焦点且垂直于x轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且

64、AB

65、min＝2p＝4，∴这样的直线有两条．故选B．10．(2019年浙江杭州模拟)过抛

66、物线x2＝4y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且AB⊥CD，则·＋·的最大值等于(　　)A．4　　B．－4　C．－8　D．－16【答案】D【解析】依题意得·＝－(

67、

68、·

69、

70、)．又因为

71、

72、＝yA＋1，

73、

74、＝yB＋1，所以·＝－(yAyB＋yA＋yB＋1)．设直线AB的方程为y＝kx＋1(k≠0)，联立x2＝4y，可得x2－4kx－4＝0，所以xA＋x