2018届高三数学一轮复习平面解析几何第十节圆锥曲线的综合问题课件理.pptx

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1、理数课标版第十节　圆锥曲线的综合问题考点一　定点、定值问题典例1(2016北京,19,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:

2、AN

3、·

4、BM

5、为定值.考点突破解析(1)由题意得解得a=2,b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:由(1)知,A(2,0),B(0,1).设P(x0,y0),则+4=4.当x0≠0时,直线PA的方程为y=(x-2).令x=0,得yM=-,从而

6、BM

7、=

8、1-yM

9、=.直

10、线PB的方程为y=x+1.令y=0,得xN=-,从而

11、AN

12、=

13、2-xN

14、=.所以

15、AN

16、·

17、BM

18、=·===4.当x0=0时,y0=-1,

19、BM

20、=2,

21、AN

22、=2,所以

23、AN

24、·

25、BM

26、=4.综上,

27、AN

28、·

29、BM

30、为定值.方法技巧1.定点问题的常见解法(1)根据题意选择参数,建立一个含参数的直线系或曲线系方程,经过分析、整理,对方程进行等价变形,以找出适合方程且与参数无关的坐标(该坐标对应的点即为所求定点).(2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意.2.求定值问题常见的方法(1)从特殊情况入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;(2)直接推理、计算,并在计算推理的过

31、程中消去变量,从而得到定值.1-1已知椭圆C:+y2=1(a>1)的上顶点为A,右焦点为F,直线AF与圆M:(x-3)2+(y-1)2=3相切.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P,Q两点,且·=0,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.解析(1)圆M的圆心为(3,1),半径r=.由题意知A(0,1),F(c,0),则直线AF的方程为+y=1,即x+cy-c=0,由直线AF与圆M相切,得=,解得c2=2,所以a2=c2+1=3,故椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)解法一:由·=0,知AP⊥AQ,从而直线AP与坐标轴不垂直,由A(0,1)可设直线AP

32、的方程为y=kx+1(k≠0),则直线AQ的方程为y=-x+1(k≠0).将y=kx+1代入椭圆C的方程+y2=1中,整理,得(1+3k2)x2+6kx=0,解得x=0或x=-,∴P,即P,将上面P的坐标中的k换成-,得Q.∴直线l的方程为y=+,化简得直线l的方程为y=x-,因此直线l过定点.解法二:由·=0知AP⊥AQ,从而直线PQ与x轴不垂直,故可设直线l的方程为y=kx+t(t≠1),将其与椭圆方程联立得消去y,整理得(1+3k2)x2+6ktx+3(t2-1)=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则(*)由·=0,得·=(x1,y1-1)·(x2,y2-1)=(1+

33、k2)x1x2+k(t-1)·(x1+x2)+(t-1)2=0,将(*)代入,得t=-.∴直线l过定点.考点二　最值与范围问题典例2(2016课标全国Ⅱ,20,12分)已知椭圆E:+=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(1)当t=4,

34、AM

35、=

36、AN

37、时,求△AMN的面积;(2)当2

38、AM

39、=

40、AN

41、时,求k的取值范围.解析(1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0.当t=4时,E的方程为+=1,A(-2,0).(1分)由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为y=x+2.(2分)将x=y-2

42、代入+=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=,所以y1=.(4分)因此△AMN的面积S△AMN=2×××=.(5分)(2)由题意,t>3,k>0,A(-,0).将直线AM的方程y=k(x+)代入+=1得(3+tk2)x2+2·tk2x+t2k2-3t=0.(7分)由x1·(-)=得x1=,故

43、AM

44、=

45、x1+

46、=.(8分)由题设,直线AN的方程为y=-(x+),同理可得

47、AN

48、=.(9分)由2

49、AM

50、=

51、AN

52、得=,即(k3-2)t=3k(2k-1).当k=时上式不成立,因此t=.(10分)t>3等价于=<0,即<0.(11分)由此得或解得

53、(12分)方法技巧圆锥曲线中的最值(范围)问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是代数法,即把要求最值(范围)的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数,然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.2-1(2014北京文,19,14分)已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点.若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的