（北京专用）2019版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第十节 圆锥曲线的综合问题作业本 理

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1、第十节　圆锥曲线的综合问题A组　基础题组1.(2017北京东城一模,19)已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点(0,),且离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)设A,B是椭圆C的左,右顶点,P为椭圆上异于A,B的一点,以原点O为端点分别作与直线AP和BP平行的射线,交椭圆C于M,N两点,求证:△OMN的面积为定值.2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点(,1),且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形.(1)求椭圆的标准方程;(2)设M(x,y)是椭圆C上的动点,P(p,0)是x轴上的定点,求

2、MP

3、的最小值及取最小值

4、时点M的坐标.B组　提升题组3.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆C与y轴交于A,B两点,且

5、AB

6、=2.(1)求椭圆C的方程;(2)设点P是椭圆C上的一个动点,且点P在y轴的右侧,直线PA,PB与直线x=4分别交于M,N两点,若以MN为直径的圆与x轴交于两点E,F,求点P的横坐标的取值范围及

7、EF

8、的最大值.4.设F1、F2分别为椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆E上,且点P和F1关于点C对称.(1)求椭圆E的方程;(2)过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A,B两点,过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q,问

9、是否存在直线l,使得四边形PABQ的对角线互相平分?若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.答案精解精析A组　基础题组1.解析　(1)由题意得解得a=2,c=.所以椭圆C的方程为+=1.(2)证明:设点P(x0,y0)(不妨令x0>0,y0>0),M(x1,y1),N(x2,y2),则+=1.①当M(x1,y1),N(x2,y2)在x轴同侧时,不妨设x1>0,x2<0,y1>0,y2>0.射线OM所在直线的方程为y1=x1,射线ON所在直线的方程为y2=x2,过M,N作x轴的垂线,垂足分别为M',N',则S△OMN=S梯形MM'N'N-S△

10、OMM'-S△ONN'=(y1+y2)(x1-x2)-x1y1-(-x2)y2=(x1y2-x2y1)==x1x2·=x1x2·=-x1x2·.由得+2=4,即===2+x0,同理=2-x0,所以=4-=2,即x1x2=-y0,所以,S△OMN=.②当M(x1,y1),N(x2,y2)在x轴异侧时,解法同①.综合①②,△OMN的面积为定值.2.解析　(1)由题意,以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形,知b=c,所以a2=2b2,则椭圆C的方程为+=1.又因为椭圆C过点(,1),所以+=1,解得b=,故a=2.所以椭圆的标

11、准方程为+=1.(2)因为M(x,y)是椭圆C上的动点,所以+=1,且

12、x

13、≤2,故y2=2=2-.所以

14、MP

15、2=(x-p)2+y2=(x-p)2+2-=x2-2px+p2+2=(x-2p)2-p2+2.①若

16、2p

17、≤2,即

18、p

19、≤1,则当x=2p时,

20、MP

21、取最小值,此时M(2p,±).②若p>1,则当x=2时,

22、MP

23、取最小值

24、p-2

25、,此时M(2,0).③若p<-1,则当x=-2时,

26、MP

27、取最小值

28、p+2

29、,此时M(-2,0).B组　提升题组3.解析　(1)由题意知又a2=b2+c2,∴∴椭圆C的方程为+y2=1.(2)①由题意知,M

30、,N一定在x轴的两侧,过点(0,1),(4,0)的直线方程为y=-x+1.将y=-x+1与椭圆方程联立,得x=.∴符合条件的点P的横坐标的取值范围是.②如图,设点P(x0,y0),MN的中点为Q,直线x=4与x轴的交点为H.则

31、EF

32、=2

33、HF

34、=2=2=2,lAM:y-1=·x,lBN:y+1=·x,当x=4时,yM=-+1,yN=+-1,∴-yMyN==-=+1--===5-,∵x0∈,∴

35、EF

36、=2∈(0,2],∴

37、EF

38、的最大值为2.4.解析　(1)由点P和F1关于点C对称,得F1(-1,0),所以椭圆E的焦点为F1(-1,0),F2(

39、1,0),由椭圆定义得2a=

40、PF1

41、+

42、PF2

43、=4.所以a=2,b==.故椭圆E的方程为+=1.(2)存在直线l,使得四边形PABQ的对角线互相平分.由题意可知直线l,直线PQ的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-1),直线PQ的方程为y-=k(x-1).由消去y,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,由题意可知Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,由消去y,得(3+4k2)x2-(8k2-12k)x+4k2-12k-3=0,由Δ>0可知k≠-,设Q(x3,y3),又P,则x3+1=,x3·

44、1=.若四边形PABQ的对角线互相平分,则PB与AQ的中点重合,所以=,即x1-x2=1-x3,故(x1+x2)2-4x1x2=(1-x3)2,所以-