tokamak的磁面坐标系(附录)

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1、2009等离子体物理暑期讲习班第一讲：‘带电粒子在TOKAMAK磁场位形中运动的回顾’附录Tokamak的磁面坐标系目录一.曲面坐标的一般数学描述1．共变基和反变基，变换和反变换的Jacobian，共变和反变的度量张量2．矢量，及其代数运算（点乘，叉乘）和解析运算（梯度，散度，旋度）323.体积元（dx）和长度元平方（ds）二.环形磁场中的磁面坐标1.共变基和反变基，Jacobian，共变和反变的度量张量2.矢量，及其解析运算（梯度，散度，旋度）三.轴对称环形磁场中的磁面坐标系1.磁场在磁面坐标系中的一般表达式，磁力线方程2

2、.磁场表达式(3.4)中两个待定坐标（ψp,ψ）的物理意义四.通过MHD平衡和磁力线为直线的条件，来定出的Tokamak磁场表达式1.MHD平衡条件下的磁场分量待定函数是可测量量2.磁力线在(θ，ζ)为直线引入了安全因子q(ψ)—对ν(ψ,θ)的隐性确定pp3．Tokamak磁场在磁面坐标系中的反变与共变表达式24.取J=α(ψ)/B，使Bθ=I(ψp)与磁面ψp内的环向总电流相联系p5．对Hamada坐标—一个全磁面坐标系—的简介五.磁场表达式的小集1一.曲面坐标的一般数学描述1．共变基和反变基，变换和反变换的Jacobi

3、an，共变和反变的度量张量vvv令直角坐标系为（x,y,z），它的单位矢量—基矢为（e,e,e），有xyzv⎛∂v∂v∂v⎞∂xv∂xv∂xvve=∇x≡⎜e+e+e⎟x=e+e+e=e,x⎜xyz⎟xyzx⎝∂x∂y∂z⎠∂x∂y∂zve=∇y,（1.1）yve=∇z.z123对任何非直角（曲面）坐标系（ξ,ξ,ξ），可以采用一般的曲面坐标系的数学表达法。令它们与直角坐标系有变换关系：iiξ=ξ(x,y,z),i=.3,2,1（1.2）v1v2v3则它的单价矢量—即反（逆，抗）变基*（contravariantbasis）

4、为（e,e,e），有viie=∇ξ,i=.3,2,1（1.3）上式中的∇就是直角坐标中的梯度算子。一般由反变基来定义二个坐标系间的变换Jacobian111∂ξ∂ξ∂ξ∂x∂y∂z123i222∂(ξ,ξ,ξ)⎛∂ξ⎞∂ξ∂ξ∂ξ123J≡≡det⎜⎟≡=∇ξ⋅∇ξ×∇ξ.(1.4)⎜j⎟∂(x,y,z)⎝∂x⎠∂y∂y∂y333∂ξ∂ξ∂ξ∂z∂z∂zò在过去的书和文献中往往把covariant译为‘协变’，把contravariant译为‘逆变’或‘抗变’。这里按“英汉数学词典”和“英汉力学词典”译成‘共变’与‘反变’。

5、ò共变量（基矢和矢量或张量的分量）用下标标注，反变量用上标标注。例子：对大柱坐标系（R，φ，Z），有22−1R=x+y,φ=tan(y/x),Z=z.结果有：J=1/R。vv123利用反变换关系：r≡(x,y,z)=r(ξ,ξ,ξ)，还可以为曲面坐标系定义一组2vvv共（协）变基（Covariantbasis）：（e,e,e）123vv∂re=,i=.3,2,1(1.5)ii∂ξ有反变换的Jacobian∂(x,y,z)vvv1J′≡=e⋅(e×e)=，即JJ′=.1(1.6)123123∂(ξ,ξ,ξ)J从这两组基，可以定

6、义两个度量张量（Metrictensor），反变的和共变的:ijvivjvv1g=e⋅e，g=e⋅e，g=g=.(1.7)ijijij2Jvv注意在曲面坐标系中一般e⋅e≠δ，但有如下关系：ijijvivijkke⋅e=δ,gg=δ,其中i,j,k分别取3,2,1，重复的指标表示求和;jjijivvα1()vjvkviiαvvve=ge=εe×e,e=ge=Jε(e×e)，α=1，2，;3(1.8)iiαijkαijkjkJ⎧+,1当ijk=123,231,312顺序排列,⎪εijk=⎨−,1当ijk=132,213,321

7、逆序排列,⎪⎩,0其它数列.2．矢量，及其代数运算（点乘，叉乘）和解析运算（梯度，散度，旋度）vvvvvvvvi在直角坐标系中：A=Ae+Ae+Ae,A=e⋅A≡e⋅A，xxyyzzii而在曲面坐标系中：vviivA=Ae=Ae,iiviivvα1jke=∇ξ,e=ge=ε∇ξ×∇ξ;iiαijkJjiijA=gA,A=gA;iijjvv⎛εv⎞iijkjkiA=Ae=⎜∇ξ×∇ξ⋅A⎟∇ξ,(1.9)i⎜⎟⎝2J⎠123v131v112vA=∇ξ×∇ξ⋅A,A=∇ξ×∇ξ⋅A,A=∇ξ×∇ξ⋅A;123JJJvivεijk

8、ijk1()123231312A=Ae=A∇ξ×∇ξ=A∇ξ×∇ξ+A∇ξ×∇ξ+A∇ξ×∇ξ.i2JJviiA=A⋅∇ξ.点乘vvijijiiA⋅B=A∇ξ⋅∇ξB=AgB=AB=AB;(1.10)ijijii3叉乘vvvviivviivvα1jkA×B=W=We=We,e=∇ξ,e=g