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时间:2020-03-08
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1、第四章常用概率分布四、正态分布的概念与特征一、正态分布的概念正态分布是自然界最常见的分布之一,例如测量的误差、人体许多生化指标的测量值等等都可认为近似正态分布。此外,正态分布具有许多良好的性质,许多理论分布在一定条件下可用正态分布近似,一些重要的分布可由正态分布导出。可以说正态分布是统计学中最重要的分布。2一、正态分布的概念3图1频数分布逐渐接近正态分布示意图41.2281.2341.2401.2461.2521.2581.2641.2701.2761.2821.288图2体模“骨密度”测量值的分布接近正态分布示意图(频率密度=频率/组距)5正态分布的概率密度函数(即纵向的曲线
2、高度)图3正态曲线位置、形状与μ和σ关系示意图6正态分布的概率密度函数(即纵向的曲线高度)图3正态曲线位置、形状与μ和σ关系示意图正态分布的特征1.关于对称。即正态分布以均数为中心,左右对称。2.在处取得概率密度函数的最大值,在处有拐点,表现为钟形曲线。即正态曲线在横轴上方均数处最高。7正态分布的特征3.正态分布有两个参数,即均数µ和标准差σ。µ是位置参数,σ是变异度参数(形状参数)。常用N(µ,σ2)表示均数为μ,标准差为σ的正态分布;用N(0,1)表示标准正态分布。4.正态曲线下面积分布有一定规律。横轴上正态曲线下的面积等于1(也常写作100%)。8正态概率密度曲线下的面积
3、正态方程的积分式(分布函数):F(X)为正态变量X的累计分布函数,反映正态曲线下,横轴尺度自-∞到X的面积,即下侧累计面积。9标准正态分布。均数为0,标准差为1的正态分布,这种正态分布称为标准正态分布。对于任意一个服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量,可作如下的标准化变换,也称Z变换,标准正态分布的密度函数:10正态概率密度曲线下的面积标准正态分布方程积分式(分布函数):Φ(Z)为标准正态变量Z的累计分布函数,反映标准正态曲线下,横轴尺度自-∞到Z的面积,即下侧累计面积。11图4标准正态分布的分布函数示意图12标准正态分布表用查表代替计算必须注意:1)表中曲线下面积为-∞到Z的
4、面积。2)当µ,σ和X已知时,先求出Z值,,再用Z值查表,得所求区间占总面积的比例。当µ和σ未知时,要用样本均数和样本标准差S来估计Z值。3)曲线下对称于0的区间,面积相等。4)曲线下横轴上的面积为1(即100%)。13正态分布是一种对称分布,其对称轴为直线X=µ,即均数位置,理论上:µ±1σ范围内曲线下的面积占总面积的68.27%µ±1.96σ范围内曲线下的面积占总面积的95%µ±2.58σ范围内曲线下的面积占总面积的99%实际应用中:范围内曲线下的面积占总面积的68.27%范围内曲线下的面积占总面积的95%范围内曲线下的面积占总面积的99%1415图5正态分布曲线下的面积分
5、布标准正态分布的µ=0,σ=1,则µ±σ相当于区间(-1,1),µ±1.96σ相当于区间(-1.96,1.96),µ±2.58σ的区间相当于区间(-2.58,2.58)。区间(-1,1)的面积:1-2Φ(-1)=1-2×0.1587=0.6826=68.26%区间(-1.96,1.96)的面积:1-2Φ(-1.96)=1-2×0.0250=0.9500=95.00%区间(-2.58,2.58)的面积:1-2Φ(-2.58)=1-2×0.0049=0.9902=99.02%16例1X服从均数为µ,标准差为σ的正态分布,试估计(1)X取值在区间上的概率;(2)X取值在区间上的概率;
6、先做标准化变换:17正态曲线下面积对称,则区间(1.96,∞)的面积也是0.025。Z取值于(-1.96,1.96)的概率为1-2×0.025=0.95,即X取值在区间上的概率为95%。18例2已知某地1986年120名8岁男童身高均数,S=4.79cm,估计(1)该地8岁男孩身高在130cm以上者占该地8岁男孩总数的百分比;(2)身高界于120cm~128cm者占该地8岁男孩总数的比例;(3)该地80%男孩身高集中在哪个范围?19先做标准化转换:20理论上该地8岁男孩身高在130cm以上者占该地8岁男孩总数的7.21%。例2已知某地1986年120名8岁男童身高均数,S=4.
7、79cm,估计(1)该地8岁男孩身高在130cm以上者占该地8岁男孩总数的百分比;(2)身高界于120cm~128cm者占该地8岁男孩总数的比例;(3)该地80%男孩身高集中在哪个范围?2122例2已知某地1986年120名8岁男童身高均数,S=4.79cm,估计(1)该地8岁男孩身高在130cm以上者占该地8岁男孩总数的百分比;(2)身高界于120cm~128cm者占该地8岁男孩总数的比例;(3)该地80%男孩身高集中在哪个范围?23查标准正态分布界值表,标准正态分布曲线下左侧面积为0.1
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