2010年数学建模培训资料(Poisson过程与其应用).ppt

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1、二、泊松过程一、独立增量过程泊松过程及其应用三、维纳过程随机过程的定义对每一个参数，是随机变量，我们称随机变量族为一随机过程，其中称为指标集独立增量过程.一、独立增量过程(independentincrementprocess)X(t)-X(s),0≤s

2、量过程.直观地说,它具有“在互不重叠的区间上,状态的增量是相互独立的”这一特征.的分布所确定.于时间差t-s(0≤s

3、和方差函数VX(t)为已知的条件下,独立增量过程协方差函数可用方差函数表示为:(P341)二、泊松过程（Poissonprocess）现实世界许多偶然现象可用泊松分布来描述,大量自然界中的物理过程可以用泊松过程来刻画.泊松过程是随机建模的重要基石,也是学习随机过程理论的重要直观背景.著名的例子包括盖格计数器上的粒子流,二次大战时伦敦空袭的弹着点,电话总机所接到的呼唤次数,交通流中的事故数,某地区地震发生的次数,细胞中染色体的交换等等.这类变化过程可粗略地假定为有相同的变化类型.我们所关心的是随机事件的数目,而每一变化可用时间或

4、空间上的一个点来表示.这类过程有如下两个特性:一是时间和空间上的均匀性,二是未来的变化与过去的变化没有关系.我们将基于这些性质来建立泊松过程的模型.1.计数过程:设为一随机过程,如果N(t)是取非负整数值的随机变量,且满足s

5、,某放射性物质在放射性蜕变中发射的粒子数,一次足球赛的进球数,某医院出生的婴儿数等等,总之,对某种过程名称的由来.对0≤s

6、),t≥0}称为强度为λ的泊松过程,如果满足条件:(2)N(0)=0;(1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性;(3)对于充分小的其中常数λ>0,称为过程N(t)的强度.(亦即在充分小的时间间隔中事件出现一次的概率与时间间隔的长度成正比)(4)对于充分小的在泊松过程中,相应的质点流即质点出现的随机时刻称为强度为λ的泊松流.可以证明泊松过程的增量的分布律为由上式易知增量N(t0,t)=N(t)-N(t0)的概率分布是参数为λ(t-t0)的泊松分布,且只与时间t-t0有关,所以强度为λ的泊松过程是一齐次的独立增量过程.泊松过程也可

7、以用另一种形式的定义:即若计数(2)它是独立增量过程;过程{N(t),t≥0}满足下面三个条件:(3)对任意的t>t0≥0,增量(1)N(0)=0.可以证明这两个定义等价.由泊松分布知特别地,令t0=0,由于假设N(0)=0,故可推知,即泊松过程的强度λ(常数)等于泊松过程的均值函数和方差函数分别为单位长时间间隔内出现的质点数目的期望值.泊松过程的协方差函数而相关函数于是，有定理1：设{N(t),t≥0}是强度为λ的泊松过程，则有例1:(泊松过程在排队论中的应用)在随机服务系统中的排队顾客数，都可以用泊松过程来描述。以某火车站

8、售票处为例，解:我们用一个泊松过程来考虑.设8:00为0时刻则9:00为1时刻现象的研究中，经常用到泊松过程的模型，例如：到达电话总机的呼叫数目，到达某服务设施(商店、车站、购票处等)的设从早上8:00开始，此售票处连续售票，乘客以10人/小时的平均速率到达，则从9:00-1