复合Poisson-Geometric过程在风险模型上的应用

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1、湖南师范大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名：钮谚缸沙彳年∥月>日／湖南师范大学学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学。同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授

2、权湖南师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。本学位论文属于1、保密口，在⋯⋯年解密后适用本授权书。2、不保密回。(请在以上相应方框内打“~／”)臻1差日期：’年，月≥日月日复合Poisson．Geometric过程在风险模裂上的戍用1．绪论聚合风险理论作为保险或精算数学或者说概率论的一部分，是处理保险业中随机模型的。在这种模型中，保险公司拥有初始资产大于O，理赔发生过程由一个点过程来刻画，保险公司收到保费作为其收入，保险公司每次支付给客户的理赔额看作是一列随机变量，保费收入与理赔额的均值的差额是

3、“安全负荷”。在聚合风险理论中，一个非常重要的问题是研究破产概率，即保险公司最终的资产为负的概率。破产概率一直是风险理论研究的重点。它之所以重要，是因为它是保险精算师的基础工具，是险种制定、保费计算、再保险策略、代理人策略等工作的基础保险风险模型的早期的研究可以追溯到1903年FilipLundberg的工作，他的工作奠定了保险风险理论的基础，Lundberg意识到复合Poisson过程是非寿险模型的关键所在。在此基础上，HaraldCr锄er(1955)Il】和他的研究机构构筑了非寿险数学模型的概率基础，使得风险理论成为概率论和数理统计的一个非常活跃的分支。关于风险模型中破

4、产概率的研究，可以依据风险模型的不同提法，在针对保险公司运作中遇到的种种问题，通过对概率和统计模型进行修正，附加种种条件，使得模型更接近保险公司的实际运作，这使得破产概率的研究变得非常富有挑战性。所以破产概率的研究在国际上一直是人们关注的焦点高校教师在职硕士学位论文1．1经典风险模型我们设(Q，，，尸)为一完备概率空间。定义称过程u(f)=u+甜一∑算置为经典风险模型，或Poisson模型如果1)N(t)是一齐次Poisson点过程，2){以)是。是一独立同分布随机变量序列，E{以)=∥，3)点过程N(t)和随机序列{z。}相互独立，4)保费c为一常数。注：当N(t)=o时，

5、我们规定∑攀z，=o。设Poisson过程N(t)的强度为五即E[N(t)】=五t，则保险公司在时段[O，t]内期望赢利为：d—E[Ⅳ(f)】．研X，】=(c一舡V定义称乡：!掣为相对安全负载。以∥若9>-o，则当fjoo，研u(f)】专佃，即U(t)具有向+∞漂移的趋势。定义破产概率y(甜)=P缸+x(f)O)我们也常用到生存概率(或不破产概率)，矽(“)=1一y(“)。下面定义的函数h(r)是重要的：定义办(，．)=fe”卵(z)一l假设1存在名>o(k可以取+∞)使得：当rjk时，有五(，．)专佃。关于经典风险模型，有如下几个重要结果1)卿)=南复

6、合Poisson．Geometric过程在风险模型上的应用2)若{以)：。为均值为∥的指数分布，则吣)=南exp(_志)3)若乡>-o，R是方程五(，．)=要的正实数解，使得詈P(1-砷)如1则1imP胄”y(“)：生H。

7、il坎一旦旯上式称为Cr锄er—Lundberg逼近。4)y(“)≤P一，其中R是方程Jjl(，．)=要的正实数解上式称为Lundbe玛不等式。5)吣)2∥(o)+詈jl咖q)(1_，(砌出前面已指出，经典风险模型虽然成功的解决了单险种经典模型的破产概率问题，给出了初始资本为0或理赔额分布为指数分布时，破产概率的精确表达式，并对初始资本为∥时的破产概率进行

8、了估计，给出了著名的Lundbe玛不等式和Cr锄er．Lundberg逼近。但是经典风险模型不考虑公司经营规模及经营状况的变化，不考虑不同险种顾客索赔到来的本质差异，也不考虑公司实际上的多险种经营和新险种的开发，因此，其应用受到很大的局限。经典风险模型的这种局限性，本质上与Poisson点过程的平稳性以及保费c为恒定的假设相关联，为了更好的描述保险公司的经营过程，需要对它进行拓广。因此，自经典的破产理论诞生以后精算界和数学界对此做了很多研究，从各个方面对经典模型进行了推广。高校教师在职硕士学位论文1．2