阅读与思考函数概念的发展历程.pptx

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1、人教A版必修一函数概念的发展历程四川省都江堰中学曾小红公元前4000年，就有了函数的原始形态。公元前2000年，巴比伦人广泛使用60进制的各种数表，如倒数表、平方表、立方表以及更高次乘方表、平方根表、立方根表等。塞硫西国王统治时期，巴比伦天文学家编制的星历表内有大量的表格函数，这些来自经验的、用表格描述的函数成了以后整个天文学的数学基础。再到古希腊时期，数学和自然科学中又有了函数的新进展。毕达哥拉斯学派为了探究声学基本原则，试图去寻找不同物理量之间的相互依赖关系。到了后来的亚历山大时期，天文学家又建立了三角学，根据弧长来确定弦长，现存最早的表见于托勒密的《天

2、文大成》中，它给出从1/2度到180度每1～2度所有弧长所对的弦长(直径为120单位长度)。古希腊人还研究了曲线，三次方程的求根问题，除了没有使用系统的符号，古希腊人已经在函数的依赖关系以及使用新方法来研究这些关系上都取得很大的成就。尽管如此，却任然没有提出一般性的函数概念。这是由于古希腊科学家亚里斯多德曾指出:数学研究的是抽象的概念，而抽象概念来自事物静止不动的属性。例如数学中的数、线、形，这些数学对象都不包括运动，这大大阻碍了函数概念的发展。直到14世纪，数学家才研究运动问题。当时，法国数学家奥雷姆（N.Oresme，1320～1382）在《论形态幅度》

3、这部著作中提出的形态幅度原理(或称图线原理)，甚至已接触到函数的图象表示，在这里，奥雷斯姆借用了“经度”、“纬度”（相当于横坐标与纵坐标）这两个地理学术语来描述他的图线。其中心思想是用图形来表示一个可变量的质，这个量依赖于另外一个量。这种方法被16世纪天文学家开普勒（Kepler，1571～1630）和伽利略（Galileo，1564～1642）应用于关于天体运行方面的研究。开普勒根据他的老师第谷布拉赫的观测数据得出了行星运动的三大定律。伽利略关于自由落体、单摆的研究，始终包含着两个量同时变化的思想，如“从静止状态开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离，与

4、所用的时间平方成正比”，“沿着同高度但不同坡度的倾斜平板下滑的物体，其下滑的时间与平板的长度成正比”。这些话清楚地表明他是在讨论一种函数关系，只是他还没有把它们用符号形式表示出来而已，函数概念已经到了呼之欲出的阶段。1637年，法国哲学家、数学家笛卡尔的《几何学》出版，标志着解析几何的诞生。在《几何学》中第一次涉及到“未知和未定的量”（也就是莱布尼兹的“变量”），注意到了“一个变量对于另一个变量的依赖关系”的函数思想。1665年英国物理学家、数学家、哲学家牛顿(I.Newton,1642～1727年)研究微积分时，一直用“流量”这个词表示变量间的关系。公元1

5、667年，英国数学家格雷哥里(J.Gregory,1638～1675年)在《论圆与双曲线的求积》里第一次扩张了函数概念。他最早解释函数：“函数是从其他的一些量经过一系列代数运算而得到的，或者经过其他可以想像的运算而得到的”。这里的运算指五种运算(加、减、乘、除、开方)和求极限运算。这一定义被认为是解析的函数定义之始。但因该定义有很大的局限，也没有给出它所说函数的记号，很快被人遗忘了。1673年，莱布尼茨在《切线的逆方法或函数方法》的手稿里用“function”（即函数）表示“任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量”——如切线、次切线、法线、次法线等的长度及纵

6、坐标。并且他强调这条曲线是以方程式给出的。这种用函数表示几何量的方法，被后人称为“函数概念的几何起源”，其实，这正是函数图象表示法定义之始。莱布尼茨在这本手稿里，还引进了“常量”、“变量”、“参变量”等名称，他还创用记号x，x2，x3等来表示x的函数。