[精品]浅析中学数学例题解题方法与学生创新能力的培养.doc

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1、浅析中学数学例题解题方法与学生创新能力的培养浅析中学数学例题解题方法与学生创新能力的培养课本中不少例题都很经典，而解题难度不大，往往大多数教师不：fi视例题教学，史不重视例题的解题方法，这就导致复习屮一些教师盲目找题，既不考虑学生的知识水平，又不考虑其知识结构，忽略了知识点与知识面之间的纵横联系，以致不能提高复习效果，如果教师重视例题的挖掘，并且诱导学生分析这些题内在涵义，探索出一般规律和新的结论，既培养了学生的创新能力，发展了潜力，又激发了学生的教学学习兴趣.一、挖掘其多解性，激发创新兴趣教材上许多例题都有多种解法，一些较难的例题自不待言，但对于最基本的例题，如果能掌握其多解性，一定能激发

2、学生学习数学的兴趣，有利于培养学生的创新及发散思维•现看一例的解法：例1求证：cosxl-sinx二1+sinxcosx这是高一下册同角三角函数的基本关系式部分，除教材上的方法外，又挖出多种方法：证法1：从一边开始，证它等丁另一边cosxl-sinx=cosx(1+sinx)(1-sinx)(1+sinx)=cosx(1+sinx)l~sin2x=cosx(1+sinx)cos2x二1+sinxcosx・证法2：证明左右等于同一个式子左边=l-sin2xl-sinx=l+sinx1-sinx右边二1+sinxl~sin2x二1+sinx1-sinx所以原式成立.证法3：因为cosxl-sin

3、xcosx=cos2xl~sinx=l-sin2x1-sinx二1+sinx・所以cosxl-sinx二1+sinxcosx・这一例题不难，从这些方法中能学到一些证明题的方法•同时也能从简例中悟出数学的奥妙•激发创新兴趣.二、挖掘其拓展性,培养创新精神有一些例题，看起来很平常，但深挖掘起来它往往具备其他性质，将这些性质引入，从而达到培养学生创新能力的效果.例2已知三角形顶点是(xl,yl),B(x2,y2),C(x3,y3)求ZXABC重心G的坐标(x,y)・这是高屮一年级下册“线段的定比分点”一节的例2.它的解法很简单，最后得坐标为(xl+x2+x33,yl+y2+y33)・三、挖掘其多变

4、性，培养创新能力例3平面内存n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数f(n)=12(n-1).这是高中数学第三册选修II数学归纳法证明的例5,证法不再赘述.如果把二维变成三维，即把平面改成空间，n条直线改为n个平面，我们就挖掘出一个新问题•问题1：空间屮n个平而，其屮任何两个平面不平行，任何三个不过同一玄线，那么它们交线的个数是多少？很显然，这个问题与例子有完全一样的结果(证明略)•如果例子中的已知条件不变，我们来讨论n条直线把平面分成多少部分，则乂有新问题•问题2：平而内冇n条真线，其中任何两条不平彳『，任何三条不过同一点，那么这n条直接把平面分成多少部分呢？解决这

5、个问题有一定的难度，设f(n)表示n条直线把平面分成的部分数，显然f(1)二2,用不完全归纳法进行猜想，我们有递推式：f(n)二f(n-1)+n由此可得：f(n)二f(1)+2+3+n二l+12n(n+l)二1252+2+1)・这个结论对任何自然数n都成立，用数学归纳法易证(略)，更进一步地我们把问题2中的平面改为空间，把直线换成平面，则乂有一个新问题•问题3：空间内有n个平面，其中任何两个不平行，任何三个不过同一条直线，那么这n个平面分成多少部分呢？是否与问题2的结论一样呢？这个问题就更困难了，但仍用不完全归纳法进行猜想：用g(n)表示满足题设条件的n个平面把空间所分成的部分数，显然g(1

6、)二2,加上一个平面，这个平面与前一个平面有一条交线，这条交线把这个平面分成两部分，每一部分都把原有的空间分成两部分，这样被划分的空间部分增加数恰好等于这个平面分成的区域个数,即g(2)=g(1)+f(1)=2+2=4,再加上一个平面，这个平面与前两个平面有两条交线，且这两条交线不平行，这样由问题2的结论可知，这平面被分成f(2)部分，每个部分又把它所在的原有空间分成两部分，增加部分数恰好等于平而被分成的区域个数，即，g(3)二g(2)+f(2)二4+4二&以此类推则有：g(n)=g(n—1)+f(n一1)=g(1)+f(1)+f(2)+……f(n-1)=这个结论与问题2的结论不同，用数学归

7、纳法证明是正确的(证明略)•在问题2中，如果把n条直线换成n个圆，那么，情况乂如何呢？问题4：平面内有n个圆，其中任何两个都相交于两点，任何三个都不相交于同一点，那么这n个圆把平而分成多少部分呢？答案为：f(n)二nZ-n+2(可用数学归纳法证明)在问题4中把平面换成球面，把圆换成球面上的大圆•那么有问题•问题5：球面上任给n个大圆，其中任意三个大圆不相交于同一点，那么这n个大圆把球而分为多少部分呢？答案亦为