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1、复习内容：概念：应力波；物质坐标，空间坐标，物质微商，空间微商，物质波速；特征线；强间断，弱间断，冲击波，波的弥散效应；层裂；弹性卸载假设；卸载边界；应变间断面；应力松弛；蠕变；粘性弥散；Hugoniot弹性极限；固体高压状态方程；冲击绝热线；主要内容：一、Lagrange方法推导一维应力纵波的波动方程。解:X+dXXF(X+dX,t>F(X,t>XdX在Lagrange坐标中建立图示一维应力波长度为dX的微元的受力图,截面X上作用有总力F(X,t>,截面X+dX上作用有总力F(X+dx,t>,有b5E2RGbCAP根据牛顿第二定律,有解之,
2、有而,故上式可以化为(a>对于一维应力纵波,连续可微,记则代入(a>式,可得(b>因为,,代入(b>式,则得到了一维应力波在Lagrange坐标系中的波动方程:13/13二、用方向导数法求下列偏微分方程组的特征方程和特征相容关系(1>解:对一阶偏微分方程组进行线性组合,①×λ+②其中为待定系数,整理可得:(a>根据特征线求解方法,特征线特征方程为解之,得,,即特征线的微分方程为:将其积分即可得到特征线方程。由(a>式,整理有即将值代入上式,可得特征线上的相容关系为:(2>解:对一阶偏微分方程组进行线性组合,①×λ+②，其中为待定系数,整理可得
3、:(a>根据特征线求解方法,特征线特征方程为解之,得,,即特征线的微分方程为:13/13将其积分即可得到特征线方程。由(a>式,整理有即将值代入上式,可得特征线上的相容关系为:(3>对一阶偏微分方程组进行线性组合,①+②×λ，其中为待定系数,整理可得:(a>根据特征线求解方法,特征线特征方程为解之,得,,即特征线的微分方程为:将其积分即可得到特征线方程。由(a>式,整理有即将值代入上式,可得特征线上的相容关系为:(4>解:对一阶偏微分方程组进行线性组合,①+②×λ，其中为待定系数,整理可得:13/13(a>根据特征线求解方法,特征线特征方程为
4、解之,得,,即特征线的微分方程为:将其积分即可得到特征线方程。由(a>式,整理有即将值代入上式,可得特征线上的相容关系为:三、用特征线法求解波的传播。设半无限长弹性杆初始状态为t=0时刻杆左端X=0处受到一冲击载荷,即边界条件为,用特征线法求解(X,t>平面上AOX和Aot区域的物理量。p1EanqFDPw解:OA为经O(0,0>点作的右传波的特征线,将(X,t>平面划分为外加载荷产生的弹性波尚未到达的AOX区和弹性波已传到的Aot区。DXDiTa9E3d对于弹性波,特征线和特征线上相容条件对应于:13/13引入积分常数、、、、、后,可写成右
5、行波有:左行波有:(1)AOX区在该区任一点P,作正向特征线PQ和负向特征线PR,分别交OX轴于Q点和R点,沿着特征线PQ和PR分别有RTCrpUDGiT由<1）<2）可得：由初始条件,有,则可解得由于P点位AOX区域中的任意点,因此该解适合用于整个AOX区。(2)对于Aot区该区任一点B,作正向特征线BC交Ot轴于C点,负向特征线BD,交OX轴于D点,再过C点作负向特征线CE交特征线OA于E点,沿着特征线BC、BD和CE分别有5PCzVD7HxA沿着特征线OA,其上各点与AOX区具有相同的参数值,即有,,此外,由边界条件已给出,即于是可解得
6、13/13可以看出,在时刻,施加于杆端部的扰动和以的速度沿杆传播,并且沿着特征线BC,对应的参数值保持不变。特征线BC的特征方程可表示为,则有。由于B点Aot区中任意选取的,那么,对于Aot区任意一点,其解为四、波形曲线和时程曲线一线性硬化材料半无限长杆，应力应变关系如图所示，其中。在杆的左端处施加如图所示的载荷。<1）画出图；<2）画出时刻的波形曲线；<3）画出m位置的时程曲线。解：半无限长杆中弹性波波速：塑性波速：产生塑性波的速度，时间。<图上把关键点的坐标表示清楚，图、波形图和时程图尽量画在一起）13/13五、弹性波的相互作用处理原则：
7、在撞击面上作用力和反作用力；速度相等；1、相同材料弹性杆的共轴撞击图如图所示,作出X-t图和-v图,并确定其撞击结束时间及两杆脱开时间.(做a、b>jLBHrnAILg(c>(b>(a>解:作图说明:两弹性杆材料相同,故在X-t图中,由于两杆波速相等,同方向的特征线斜率相同。在-v状态图中同方向的波传播-v关系曲线斜率相同。xHAQX74J0X(7>v(4>17MNt5231AB46X63由波系图和状态图可得，两杆撞击结束时间为,对应于M点，此时两杆在撞击界面上质点速度均为0，此后一直到时间时8、持静止，并未相互脱离。而应力波在被撞击杆右端反射后，使该杆逐渐获得了正向速度，当时，被撞杆的左端面得介质速度由0跃为，与早已处于静止状态的撞击杆脱离，向右飞出。LD
