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1、应力波理论复习资料复习内容：概念：应力波；物质坐标，空间坐标，物质微商，空间微商，物质波速；特征线；强间断，弱间断，冲击波，波的弥散效应；层裂；弹性卸载假设；卸载边界；应变间断面；应力松弛；蠕变；粘性弥散；Hugoniot弹性极限；固体高压状态方程；冲击绝热线；主要内容：一、Lagrange方法推导一维应力纵波的波动方程。解:在Lagrange坐标中建立图示一维应力波长度为dX的微元的受力图,截面X上作用有总力F(X,t),截面X+dX上作用有总力F(X+dx,t),有?F(X,t)F(X+dX)=F(X,t)+dX?X根据牛顿第二
2、定律,有?v?F(X,t)ρoAOdX=F(X+dX)-F(X,t)=dX?t?X解之,有?F(X,t)?vdX=ρ0A0dX?X?t而F(X,t)=σA0,故上式可以化为ρ0?v?σ=(a)?t?X对于一维应力纵波,σ(ε)连续可微,记C=1dσρ0dε则dσ=ρ0C2dε代入(a)式,可得?v?ε=C2(b)?t?X因为v?程:?u?u,??,代入(b)式,则得到了一维应力波在Lagrange坐标系中的波动方?t?X2?2u2?u?C?022?t?X二、用方向导数法求下列偏微分方程组的特征方程和特征相容关系???v????v??
3、?0???t?x?x(1)??v?v????(?v)?c2?0??t?x?x?解:对一阶偏微分方程组进行线性组合,①×λ+②其中?为待定系数,整理可得:?????v?v(?v?c2)???(????v)???0(a)?X?t?X?t根据特征线求解方法,特征线特征方程为dx?v?c2????v()???dt??解之,得???c,(dx)??v?c,即特征线的微分方程为:dtdx?(v?c)dt将其积分即可得到特征线方程。由(a)式,整理有v?c2?????v?v???(?)???(??v)???0??X?t?X?t??d?dv???0
4、dtdt将?值代入上式,可得特征线上的相容关系为:即?d?????dv??dv?c???v????v?(1??)?0???t?x?x(2)??v?v????v?(1??)c2?0??x?x??t解:对一阶偏微分方程组进行线性组合,①×λ+②，其中?为待定系数,整理可得:?????v?v[?v?(1??)c2]???[??(1??)?v]??0(a)?x?t?x?t根据特征线求解方法,特征线特征方程为dx?v?(1??)c2??(1??)?v()???dt?1解之,得λ=±c,(dx)Γ=v(1+ε)c,即特征线的微分方程为:dtdx
5、=[v(1+ε)c]dt将其积分即可得到特征线方程。由(a)式,整理有?λv-(1+ε)c2?ε?ε??v?vλ?+?+[-λ(1+ε)+v]+=0λ?x?t??x?t?dεdv+=0dtdt将λ值代入上式,可得特征线上的相容关系为:dv=-λdε=cdε即λ?ρ?vv??ρ+v+ρ+2ρ=0???t?r?rr(3)??v?v?ρ?ρ(+v)+c2=0??r?r??t对一阶偏微分方程组进行线性组合,①+②×λ，其中λ为待定系数,整理可得:?ρ?ρ?v?vv[v+λc2]++(ρ+λρv)+λρ+2ρ=0(a)?r?t?r?tr根据特
6、征线求解方法,特征线特征方程为drv+λc2ρ+λρv()Γ==dt1λρ1dr解之,得λ=±,()Γ=v±c,即特征线的微分方程为:cdtdr=(v±c)dt将其积分即可得到特征线方程。由(a)式,整理有[v+λc2]?ρ?ρv?1+λv?v?v?++λρ?+?+2ρ=0?r?tr?λ?r?t?dρdvv+λρ+2ρ=0dtdtr将λ值代入上式,可得特征线上的相容关系为:ρ2ρvdρ±dv+dt=0cr即1?τ???-??XρC2?t=0?0(4)????-1?τ=0???tρ0?X解:对一阶偏微分方程组进行线性组合,①+②×λ，
7、其中λ为待定系数,整理可得:????λ?τ1?τ+λ--=0(a)?X?tρ0?Xρ0C2?t根据特征线求解方法,特征线特征方程为(λρ0dXλ)Γ==dt1ρ0C21dX,()Γ=±C,即特征线的微分方程为:CdtdX=±Cdt将其积分即可得到特征线方程。由(a)式,整理有解之,得λ=±λ(1????1?2?τ?τ?+)-λC+?=02λ?x?t?x?t?ρ0C?即λd?1dτ-=02dtρ0Cdt将λ值代入上式,可得特征线上的相容关系为:d?=11dτ=±dτρ0Cλρ0C2三、用特征线法求解波的传播。设半无限长弹性杆初始状态为
8、σ(X,0)=σ*,v(X,0)=v*,ε(X,0)=ε*,t=0时刻杆左端X=0处受到一冲击载荷,即边界条件为v(0,t)=v0(τ),用特征线法求解(X,t)平面上AOX和Aot区域的物理量。解:OA为经O(0,0)点作的右传波的
