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时间:2020-03-29
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1、线性代数B期末试卷解答05一、判断题(正确填√,错误填×。每小题2分,共10分>1.A是n阶方阵,且|A|≠0,则n元方程组AX=b有唯一解。 <√)2.A,B是同阶相似方阵,则A与B有相同的特征值。<√)3.如果X1与X2皆是AX=b的解,则X1+X2也是AX=b的解。(×>4.若A为n阶方阵,其秩r5.从A中划去一行得到矩阵B,则A的秩≥B的秩。<√)二、单项选择题<每小题3分,共15分)1.设A是n阶矩阵,其伴随矩阵为A*,E为单位矩阵。则AA*为(A>2、A3、E(B>E(4、C>A*(D>不能乘2.设A、B、C同为n阶方阵,且满足ABC=E,则必有(B>(C>3n·(D>3·5n4.设n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r5、 (pg-ef>。2.为3阶矩阵,且满足6,则=__1/6__,33·62=972。3.设齐次线性方程组的系数矩阵A=此方程有可能无解吗?你的回答及理由是不可能,齐次方程组总有解,当β取值为 -5 时方程组有无穷多解。b5E2RGbCAP4.已知是四元方程组AX=b的三个解,其中的秩=3,,,则方程组AX=b的通解为。5.设,则|A|=-54 ,A的秩R(A>是 3 。四、计算下列各题<每小题8分,共24分)。1.设且知AX-A=3X,求矩阵6、X。解:9/91.已知向量组求向量组A的秩;判断向量组的相关性;求其一个极大无关组;将其余向量用极大无关组线性表示。解:R(A>=3;是一最大无关组;2.设P-1AP=Λ, 求A11 。解:五、解方程组<本题8分)已知方程组取什么值时方程组有解?在有解的情况下,求方程组的通解。解:当a=0,b=2时方程组有解,这时:9/9方程组的通解为:X=(-23000>T+C1(1–2100>T+C2(1–2010>T+C3(5–6001>Tp1EanqFDPwC1,C2,C3位任意常数。六、<本题8分)已知二次型求一个正交变换将二次型7、化成标准形,并确定其是否正定。解:非正定。七.证明题<每小题5分,共10分)。1.若A,B都是n阶方阵,如果AB=0,证明R(A>+R(B>≤n。证明:由题设,B的各列属于AX=0的解空间,于是R(B>≤n-R(A>,因此:R(A>+R(B>≤n。2.设A为n阶非零矩阵,A*是A的伴随矩阵,AT是A的转置矩阵,当A*=AT时,证明|A|≠0 。证明:设A=(aij>,由题设aij不全为零。令B=AAT=(bij>,则B不是零矩阵,其对角元:若|A|=0,则有:AAT=AA*=|A|A=0,矛盾。线性代数试卷解答(04>一、98、/91.。4.选D。A错误,因为,不能保证;B错误,的基础解系含有个解向量;C错误,因为有可能,无解;D正确,因为。RTCrpUDGiT5.选A。A正确,因为它们可对角化,存在可逆矩阵,使得,因此都相9、似于同一个对角矩阵。三、1.<按第一列展开)2.;<=)3.相关<因为向量个数大于向量维数)。。因为,。9/94.。因为,原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量,取为,由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。5PCzVD7HxA5.<四、1.解法一:。将与组成一个矩阵,用初等行变换求。=。故。解法二:。,因此。2.解:,,。9/93.解法一:由方程组有无穷多解,得,因此其系数行列式。即或。当时,该方程组的增广矩阵于是,方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个基础解系,原方程组的一个特解,故时,方程组有无10、穷多解,其通解为,jLBHrnAILg当时增广矩阵,,此时方程组无解。解法二:首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。由于该方程组有无穷多解,得。因此,即。求通解的方法与解法一相同。9/94.解:首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵,因此得到其特征值为,。再求特征值的特征向量。
2、A
3、E(B>E(
4、C>A*(D>不能乘2.设A、B、C同为n阶方阵,且满足ABC=E,则必有(B>(C>3n·(D>3·5n4.设n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r5、 (pg-ef>。2.为3阶矩阵,且满足6,则=__1/6__,33·62=972。3.设齐次线性方程组的系数矩阵A=此方程有可能无解吗?你的回答及理由是不可能,齐次方程组总有解,当β取值为 -5 时方程组有无穷多解。b5E2RGbCAP4.已知是四元方程组AX=b的三个解,其中的秩=3,,,则方程组AX=b的通解为。5.设,则|A|=-54 ,A的秩R(A>是 3 。四、计算下列各题<每小题8分,共24分)。1.设且知AX-A=3X,求矩阵6、X。解:9/91.已知向量组求向量组A的秩;判断向量组的相关性;求其一个极大无关组;将其余向量用极大无关组线性表示。解:R(A>=3;是一最大无关组;2.设P-1AP=Λ, 求A11 。解:五、解方程组<本题8分)已知方程组取什么值时方程组有解?在有解的情况下,求方程组的通解。解:当a=0,b=2时方程组有解,这时:9/9方程组的通解为:X=(-23000>T+C1(1–2100>T+C2(1–2010>T+C3(5–6001>Tp1EanqFDPwC1,C2,C3位任意常数。六、<本题8分)已知二次型求一个正交变换将二次型7、化成标准形,并确定其是否正定。解:非正定。七.证明题<每小题5分,共10分)。1.若A,B都是n阶方阵,如果AB=0,证明R(A>+R(B>≤n。证明:由题设,B的各列属于AX=0的解空间,于是R(B>≤n-R(A>,因此:R(A>+R(B>≤n。2.设A为n阶非零矩阵,A*是A的伴随矩阵,AT是A的转置矩阵,当A*=AT时,证明|A|≠0 。证明:设A=(aij>,由题设aij不全为零。令B=AAT=(bij>,则B不是零矩阵,其对角元:若|A|=0,则有:AAT=AA*=|A|A=0,矛盾。线性代数试卷解答(04>一、98、/91.。4.选D。A错误,因为,不能保证;B错误,的基础解系含有个解向量;C错误,因为有可能,无解;D正确,因为。RTCrpUDGiT5.选A。A正确,因为它们可对角化,存在可逆矩阵,使得,因此都相9、似于同一个对角矩阵。三、1.<按第一列展开)2.;<=)3.相关<因为向量个数大于向量维数)。。因为,。9/94.。因为,原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量,取为,由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。5PCzVD7HxA5.<四、1.解法一:。将与组成一个矩阵,用初等行变换求。=。故。解法二:。,因此。2.解:,,。9/93.解法一:由方程组有无穷多解,得,因此其系数行列式。即或。当时,该方程组的增广矩阵于是,方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个基础解系,原方程组的一个特解,故时,方程组有无10、穷多解,其通解为,jLBHrnAILg当时增广矩阵,,此时方程组无解。解法二:首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。由于该方程组有无穷多解,得。因此,即。求通解的方法与解法一相同。9/94.解:首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵,因此得到其特征值为,。再求特征值的特征向量。
5、 (pg-ef>。2.为3阶矩阵,且满足6,则=__1/6__,33·62=972。3.设齐次线性方程组的系数矩阵A=此方程有可能无解吗?你的回答及理由是不可能,齐次方程组总有解,当β取值为 -5 时方程组有无穷多解。b5E2RGbCAP4.已知是四元方程组AX=b的三个解,其中的秩=3,,,则方程组AX=b的通解为。5.设,则|A|=-54 ,A的秩R(A>是 3 。四、计算下列各题<每小题8分,共24分)。1.设且知AX-A=3X,求矩阵
6、X。解:9/91.已知向量组求向量组A的秩;判断向量组的相关性;求其一个极大无关组;将其余向量用极大无关组线性表示。解:R(A>=3;是一最大无关组;2.设P-1AP=Λ, 求A11 。解:五、解方程组<本题8分)已知方程组取什么值时方程组有解?在有解的情况下,求方程组的通解。解:当a=0,b=2时方程组有解,这时:9/9方程组的通解为:X=(-23000>T+C1(1–2100>T+C2(1–2010>T+C3(5–6001>Tp1EanqFDPwC1,C2,C3位任意常数。六、<本题8分)已知二次型求一个正交变换将二次型
7、化成标准形,并确定其是否正定。解:非正定。七.证明题<每小题5分,共10分)。1.若A,B都是n阶方阵,如果AB=0,证明R(A>+R(B>≤n。证明:由题设,B的各列属于AX=0的解空间,于是R(B>≤n-R(A>,因此:R(A>+R(B>≤n。2.设A为n阶非零矩阵,A*是A的伴随矩阵,AT是A的转置矩阵,当A*=AT时,证明|A|≠0 。证明:设A=(aij>,由题设aij不全为零。令B=AAT=(bij>,则B不是零矩阵,其对角元:若|A|=0,则有:AAT=AA*=|A|A=0,矛盾。线性代数试卷解答(04>一、9
8、/91.。4.选D。A错误,因为,不能保证;B错误,的基础解系含有个解向量;C错误,因为有可能,无解;D正确,因为。RTCrpUDGiT5.选A。A正确,因为它们可对角化,存在可逆矩阵,使得,因此都相
9、似于同一个对角矩阵。三、1.<按第一列展开)2.;<=)3.相关<因为向量个数大于向量维数)。。因为,。9/94.。因为,原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量,取为,由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。5PCzVD7HxA5.<四、1.解法一:。将与组成一个矩阵,用初等行变换求。=。故。解法二:。,因此。2.解:,,。9/93.解法一:由方程组有无穷多解,得,因此其系数行列式。即或。当时,该方程组的增广矩阵于是,方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个基础解系,原方程组的一个特解,故时,方程组有无
10、穷多解,其通解为,jLBHrnAILg当时增广矩阵,,此时方程组无解。解法二:首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。由于该方程组有无穷多解,得。因此,即。求通解的方法与解法一相同。9/94.解:首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵,因此得到其特征值为,。再求特征值的特征向量。
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