扭绳的稳定研究.docx

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1、手持一根绳子，扭曲其一端。绳子将形成一个螺旋或圆环，观察并解释这一现象。手持细绳一端，执其另一端朝一个方向扭曲，<此时绳子相当于两端固定）细绳就会绕其中心线不断扭转，当扭转至一定程度时，绳子的平衡状态就会变得极其不稳定，就会形成螺旋或者是圆环。利用类比的方法将绳子简化看作是一个很细的弹性细杆，在松弛的杆两边各画一条平行于中心线的西线分别记作C1和C2，沿同一方向标出箭头，则C1，C2形成一个狭长的曲带，细杆在空间的状态由曲带来体现。规定：如果细带C1在C2的上方空间交叉，且是由逆时针旋转，则细杆的连接数为1用表示，如果逆时针变成顺时针则为-1，细杆旋转一周时，C1和C2在空间交叉两次

2、，但是C1在C2上方只有一次，此时细杆的连接数仍然是1.细杆绕中心线扭转的圈数称为杆的扭转数，b5E2RGbCAP记作每旋转一圈<顺时针）就增加1，朝反方向扭转则减少1.如图1所示，此时扭转数与连接数均为1图1扭转在假设细杆无旋转的缠绕出一个开口环圆，则C1在C2的上方共交叉出现3次，则其中的连接数两次为1，一次为-1，所以总共的连接数=2-1=1，但是扭转数为0.p1EanqFDPw图2无扭转的缠绕由此可见，无论细杆做扭转也好，作无扭转的缠绕也好，都能对连接数无影响，一般情况下，细杆可能既有扭转也有缠绕，那么连接数与扭转数之差就反映出细杆的缠绕程度，称之为缠绕数，用表示DXDiTa

3、9E3d=-拓扑学的研究表明：两端固定的曲带，当中心线连续变形时其连接数为常数值，可以以两端固定的曲带为例，当中心线变为螺旋线时，扭转数由-2变为零，而缠绕数从零变为-2，但是连接数保持-2不变RTCrpUDGiT应用上述理论可以解释绳子多次扭曲的突变现象，而且发现扭转数向缠绕数转变而连接数保持不变。而且总是扭转数向缠绕数转换而不是相反，这个可以利用弹性力学中的最小势能原理可以解释。弹性势能的稳定平衡状态总是与势能的最小值相对应，受力直杆的弹性势能仅与扭转有关，可用扭转数表示为5PCzVD7HxA式中的C为杆的抗扭曲刚度，L为杆的长度，为扭转数，是连接数，缠绕数从势能公式中可以看出，

4、缠绕数越大，弹性杆的扭转势能越小。杆的缠绕现象会导致弯曲势能的出现，当杆有足够大的连接数时，缠绕数对扭转势能的影响超过对弯曲势能的影响。因此细绳受到微扰后，必然朝着缠绕数增的方向，也就是势能减少的方向，于是就很好解释绳子会出现螺旋或圆环的现象jLBHrnAILg接下来讨论弹性细杆的稳定状态：2/2以上定义的缠绕数与扭转数可以作为描述曲带或者曲杆形态的两个基本参数，前者描述拓扑性质，后者描述曲带绕中心线的扭转程度，由于连接数为常数，所以当中心线有微小的形变时缠绕数和扭转数的微分和应该满足xHAQX74J0X+=0这个公式体现了弯曲变形与扭转变形的相互转换关系，假如曲带的端部约束被部分解

5、除，则连接数不再守恒，描述弯曲变形与扭转变形的缠绕数和扭转数相互独立。LDAYtRyKfE讨论曲杆圆截面时，将总势能E划分为两部分E=+其中由弯曲应变能和端部作用力势能组成，仅与杆中心线形状有关，即与缠绕数相关，为扭转应变能，与扭转数相关，可表示为Zzz6ZB2Ltk当杆的绕性线有微小改变时，由公式导出则扭转应变能的微变分为弹性杆的平衡条件要求平衡状态下势能的变为分满足=--将视为的函数，为的函数，导出平衡条件根据Lagrange定理，总势能E为孤立极小值则弹性杆平衡稳定。对和再取一次微变分则得到<1）<2）因为为常数，由公式=-可以导出，即所以==0不满足稳定条件，所以绳子会出现螺

6、旋或圆环的现象，但是这是瞬间的，一旦手松动绳子又会自动恢复原来的状态dvzfvkwMI1如果约束状态改变(手握绳子的那一断不是理想状态下的固定不动>则连接数不再保持常数，重新对各项曲微变分，此时考虑的变化得到rqyn14ZNXI并导出将上式代入<1）<2）在代入稳定性条件>0导出>0此不等式要求从而得到弹性杆平衡稳定性充分条件，当扰动引起的缠绕数与连接数的变化满足对的倒数大于1时弹性细杆处于平衡状态，此时是一个稳定状态，松手后绳子会仍然保持螺旋或圆环的状态EmxvxOtOco申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。2/2