扭绳的稳定研究

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1、手持一根绳子，扭曲其一端。绳子将形成一个螺旋或圆环，观察并解释这一现象。手持细绳一端，执其另一端朝一个方向扭曲，（此时绳子和当于两端固定）细绳就会绕其中心线不断扭转，当扭转至一定程度时，绳子的平衡状态就会变得极其不稳定，就会形成螺旋或者是圆环。利用类比的方法将绳了简化看作是一个很细的弹性细杆，在松弛的杆两边各画一条平行于中心线的西线分别记作C1和C2,沿同一方向标出箭头，则Cl,C2形成一个狭长的曲带，细杆在空间的状态由曲带来体现。规定：如果细带C1在C2的上方空间交义，且是由逆时针旋转，则细杆的连接数为1川氐表示，如果逆时针变成顺吋针则比

2、为-1,细杆旋转一周时，C1和C2在空间交叉两次，但是C1在C2上方只有一次，此时细杆的连接数仍然是1.细杆绕中心线扭转的圈数称为杆的扭转数,记作兀每旋转一圈（顺吋针）心就增加1,朝反方向扭转则心减少如图1所示，此时扭转数与连接数均为1图1扭转在假设细杆无旋转的缠绕出一个开口环圆，则C1在C2的上方共交义出现3次，则其屮的连接数两次为1,一次为-1,所以总共的连接数厶讦2-1二1,但是扭转数为0.图2无扭转的缠绕由此可见，无论细杆做扭转也好，作无扭转的缠绕也好，都能对连接数无影响，一般悄况下，细杆可能既有•扭转也有缠绕，那么连接数与扭转数之

3、差就反映岀细杆的缠绕程度，称之为缠绕数，用必表示Wr=Lk~Tw拓扑学的研究表明：两端固定的曲带，当屮心线连续变形吋其连接数比为常数值，可以以两端固定的曲带为例，当中心线变为螺旋线时，扭转数心由-2变为零，而缠绕数必从冬变为-2,但是连接数比保持-2不变(MU(-2)■♦7UO)应川1••述理论町以解释绳子多次扭Illi的突变现象，而且发现扭转数向缠绕数转变而连接数保持不变。而fl总是扭转数向缠绕数转换而不是相反，这个可以利用弹性力学中的最小势能原理可以解释。弹性势能的稳定平衡状态总是与势能的最小值相对应，受力肓杆的弹性势能艮仅与扭转有关，

4、可用扭转数表示为2n2C72n2C2Et=—7；/=—（Lk-Wr）式中的C为杆的抗扭曲刚度，L为杆的氏度，心为扭转数，S是连接数，必缠绕数从势能公式中可以看出，缠绕数越人，弹性杆的扭转势能越小。杆的缠绕现象会导致弯1111势能的出现，当杆有足够大的连接数时，缠绕数对扭转势能的影响超过対弯曲势能的影响。因此细绳受到微扰后，必然朝着缠绕数增的方向，也就是势能减少的方向，于是就很好解释绳了会出现螺旋或圆环的现象接下来讨论弹性细杆的稳定状态：以上定义的缠绕数与扭转数可以作为描述曲带或者曲杆形态的两个基本参数，前者描述拓扑性质，示者描述曲带绕屮心线

5、的扭转程度，由于连接数为常数，所以当屮心线有微小的形变时缠绕数和扭转数的微分和应该满足这个公式体现了弯曲变形与扭转变形的相互转换关系，假如曲带的端部约束被部分解除，则连接数不再守恒，描述弯曲变形与扭转变形的缠绕数和扭转数相互独立。讨论曲杆圆截面时，将总势能E划分为两部分E二附兔其中&由弯曲应变能和端部作用力势能组成，仅与杆中心线形状有关，即与缠绕数必相关，位为扭转应变能，与扭转数7；「相关，可表示为2n2C72n2C、2Et=—心2=—（Lk-wr）当杆的绕性线冇微小改变时，由公式^{\8Tw=-8Wr则扭转应变能的微变分为47T2C=—

6、j—Tw6Tw弹性杆的平衡条件6E=0要求平衡状态下势能&的变为分满足8E=SEt=-呼T/Tw=^Tw6WrLLi将艮视为必的函数，E/为的函数，导岀平衡条件dE_dEt4n2C根据Lagrange定理，总势能E为孤立极小值则弹性杆平衡稳定。对氐和氐再取一次微变分则得到LAWr62Ec=（6Wr）2（1）因为氐为常数，由公式Wr^Lk~Tw可以导HdTw=-dWrf即哉=一1所以沪£二竽[（§必丿2_（STw）2]=g不满足稳定条件，所以绳子会出现螺旋或圆环的现L象，但是这是瞬间的，一旦手松动绳了又会自动恢复原来的状态如果约束状态改变(

7、手握绳子的那一断不是理想状态下的固定不动)则连接数不再保持常数,重新对各项曲微变分，此时考虑比的变化得到STW=SLk-8Wr=swr并导出将上式代入(1)(2)在代入稳定性条件§2e>0导出此不等式要求从而得到弹性杆平衡稳定性充分条件，当扰动引起的缠绕数与连接数的变化满足比对叫•的倒数大于1时弹性细杆处于平衡状态，此时是一个稳定状态，松手后绳了会仍然保持螺旋或圆坏的状态