立体几何中的向量方法(理).doc

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1、【本讲教育信息】一.教案内容：   立体几何中的向量方法 二.重点、难点：直线，m的方向向量为平面的法向量为<1）<2）<3）<4）<5）<6） 【典型例题】[例1]已知，若且，求x+y的值。解：由①又    即②由①②有：或∴或 [例2]设向量，计算，并确定的关系，使与z轴垂直。解：由即当满足即使与z轴垂直 [例3]如图，在空间四边形ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，且AB=BC=2，E是AC的中点，异面直线AD和BE所成的角为，求BD的长度。b5E2RGbCAP12/12解：建立如图所示的空间直角坐标系，由题意有A<0，2，0），C<

2、2，0，0），则E<1，1，0），设D<0，0，z），0），则p1EanqFDPw∴∵      ∴∴即BD=4 [例4]在棱长为1的正方体中，E、F分别是的中点，G在棱CD上，且，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题。DXDiTa9E3d<1）求证：EF⊥B1C；<2）求EF与C1G所成的角的余弦；<3）求FH的长。解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E<0，0，）F<）C<0，1，0）B1<1，1，1）C1<0，1，1），G<0，，0）∵    ∴则即12/12<2）    ∴由<1）知故EF与所成角的余弦

3、值为<3）∵H为C1G1的中点   ∴H<0，），又F<）∴    即 [例5]如图，在棱长为2的正方体中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系。<1）写出A、B1、E、D1的坐标；<2）求AB1与D1E所成的角的余弦值。解：<1）A<2，2，0）B1<2，0，2），E<0，1，0），D1<0，2，2）<2）∵∴，∴与所成的角的余弦值为 12/12[例6]如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点。<1）求证：EF//平面PAD；<2）求证：EF⊥CD；<3）若，求EF与平面ABCD所成的角

4、的大小。证：如图，建立空间直角坐标系，设，，则：A<0，0，0），B<），C<），D<），P<）∵E为AB的中点，F为PC的中点   ∴E<），F<）<1）∵∴     ∴与、共面又∵平面PAD   ∴EF//平面PAD<2）∵    ∴∴CD⊥EF<3）若，则有，即    ∴  ∴     ∴∵平面AC  ∴是平面AC的法向量∴EF与平面AC所成的角为： [例7]在正方体中，如图E、F分别是BB1，CD的中点，<1）求证：平面ADE；12/12<2）解：建立如图所示的直角坐标系，<1）不妨设正方体的棱长为1，则D<0，0，0），A<1，0，

5、0，），D1<0，0，1），E<1，1，），F<0，，0）则，  则    ∴     ∴平面ADE<2）B1<1，1，1），C<0，1，0），故∴，则 [例8]如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。RTCrpUDGiT<1）证明PA//平面EDB；<2）证明PB⊥平面EFD；<3）求二面角C—PB—D的大小。12/12解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=。<1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG依题意得A<），P<0，0，a），E<）∵底

6、面ABCD是正方形    ∴G是此正方形的中心故点G的坐标为<）且，∴，这表明PA//EG，而平面EDB且PA平面EDB∴PA//平面EDB<2）证明：依题意得B<），又，故∴PB⊥DE，由已知EF⊥PB，且，所以PB⊥平面EFD<3）解：设点F的坐标为<），，则从而，所以由条件EF⊥PB知，即解得  ∴点F的坐标为<）12/12且，即，故是二面角C—PB—D的平面角∵且∴∴，所以，二面角C—PC—D的大小为 [例9]如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面AB

7、D上的射影是的垂心G。5PCzVD7HxA<1）求A1B与平面ABD所成角的大小<结果用反三角函数值表示）；<2）求点A1到平面AED的距离。解：<1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即是与平面ABD所成的角，如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=，则A<），B<），D<0，0，1），A1<，0，2），E<），G<）jLBHrnAILg∴     ∴，解得∴，    ∴12/12A1B与平面ABD所成角是<2）由<1）有A<2，0，0），A1<2，0，2），E<1，1，1），D<0，0，1）  ∴平面AA1E，又ED平面AED∴平

8、面AED⊥平面AA1E，又面AED面AA1E=AE∴点A在平面AED的射影K在AE上设，则由，即，解得∴，即即点A1到平面AED的距离为 [例10]如图，已知正方形