函数的极值与导数习题.doc

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1、[学业水平训练]1．下列四个函数中，能在x＝0处取得极值的函数是(　　)①y＝x3　②y＝x2＋1　③y＝

2、x

3、　④y＝2xA．①②B．②③C．③④D．①③解析：选B.①④为单调函数，不存在极值．2．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是(　　)A．有极小值B．有极大值C．既有极大值又有极小值D．无极值解析：选D．∵y′＝1－(x2＋1)′＝1－＝，令y′＝0，得x＝1，当x＞1时，y′＞0，当x＜1时，y′＞0，∴函数无极值．3．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f

4、(x)的极值点，则(　　)A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析：选C．当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点，比如，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0，但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号相同，因而x＝0不是y＝x3的极值点．由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．4．已知函数f(x)，x∈R有唯一极值，且当x＝1时，f(x)存在极小值，则(　　)A．当x

5、∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0解析：选C．f(x)在x＝1时存在极小值，则当x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.5．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是(　　)A．(2,3)B．(3，＋∞)C．(2，＋∞)D．(

6、－∞，3)解析：选B.因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，所以有f′(2)＝0，而f′(x)＝6x2＋2ax＋36，代入得a＝－15.现令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个增区间是(3，＋∞)．6．函数y＝3x3－9x＋5的极大值为________．解析：y′＝9x2－9.令y′＝0，得x＝±1.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)y′＋0－0＋y单调递增↗极大值单调递减↘极小值单调递增↗从上表可以看出，当x＝－1时，函数y有极大值3×(－1)3－9×(－1)

7、＋5＝11.答案：117．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导数f′(x)的图象如图所示，则函数的极小值是________．解析：由图象可知，当x＜0时，f′(x)＜0，当0＜x＜2时，f′(x)＞0，故x＝0时函数f(x)取极小值f(0)＝C．答案：c8．已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－时都取得极值，则a＝________，b＝________.解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，令f′(x)＝0，由题设知x1＝1与x2＝－为f′(x)＝0的解．∴，∴.答案：－　－29．求下列函数的极值：(1)f(x)＝x2e－x；(

8、2)f(x)＝.解：(1)函数的定义域为R.f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘0↗4e－2↘由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0.当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝.(2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝.令f′(x)＝0，即＝0，得x＝e.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：X(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x

9、)↗↘由表可知，当x＝e时，函数的极大值是.10．已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.(1)求a，b的值；(2)求函数y的极小值．解：(1)y′＝3ax2＋2bx，由题意，得当x＝1时，y′

10、x＝1＝3a＋2b＝0，y

11、x＝1＝a＋b＝3，即解得a＝－6，b＝9.(2)由(1)知y＝－6x3＋9x2，则y′＝－18x2＋18x.令y′＝0，得x＝0或x＝1，经检验知x＝0是函数的极小值点，故y极小值＝y

12、x＝0＝0.[高考水平训练]1．若函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是(　　)A．1＜a＜2B．1＜

13、a＜4C．2＜a＜4D．a＞4或a＜1解析：选B.y′＝3x2－3a.当a≤0时，f′(x)≥0，函数y＝x