复变函数期末试卷.doc

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1、《复变函数论》期末考试试题-A卷答案一、选择题（每小题4分，共20分）⒈表示的轨迹为（B）A、有界闭区域B、有界开区域C、无界开区域D、无界闭区域⒉右半平面＞0在映射＝下的象为(D)A、＞0B、＞0C、＞1D、＞1⒊=(C)A、B、C、D、⒋的支点为(D)A、B、C、D、⒌=0为函数的（A）A、可去奇点B、本性奇点C、一阶极点D、二阶极点二、填空题（每小题4分，共36分）⒈设，则()⒉设，则＝3.=04.=05.=6.将函数展成的幂级数，则其收敛圆为（）.7.在闭圆上的最大值为（）8.级数＿＿＿绝

2、对收敛（发散，收敛，绝对收敛）9.函数在处的伸缩率为＿2＿三、（8分）求函数的所有奇点，并确定它们的类型；如果是孤立奇点，计算其留数四、（7分）将函数在环域r＜＜(r＞1)内展成级数，并由此计算积分。解:在环域内,由于,从而,因此当n=1时，五、（8分）计算积分。解:由于为偶函数,因此-----------(1)为的实部，-------(2)在上半平面有两个一级极点和--------(3)且，---(5)--(7)利用留数定理在实积分中的应用定理有=-----------------------(

3、9)从而=----------(10)六、（7分）验证函数为调和函数，并求，使为解析函数，且。⑴证明:即为调和函数.--------------（3’）⑵解:----------------(6’)由,可得----------------(7’)----------------(8’)七、（7分）设在区域D内解析，且在D内为常数，证明在D内为常数。证明:设即上式两边分别对x,y求导,有①在D内解析,又有②由①②解得故为常数,分别记为所以,为一复常数.八、（7分）试证：当时，方程在单位圆内有n个根。

4、证明：在单位圆周上，有----------(4)而函数和均在单位闭圆上解析，故由儒歇定理即方程在单位圆内有n个根。---------(7)