湖南省邵东县创新实验学校2019_2020学年高二数学上学期创高杯竞赛试题.docx

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1、湖南省邵东县创新实验学校2019-2020学年高二数学上学期创高杯竞赛试题时量120分钟总分150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．（5分）若，，，则a，b，c的大小关系是　　A．B．C．D．2．（5分）在等比数列中，，，则（）A．3B．C．D．3．（5分）设命题在定义域上为减函数；命题为奇函数，则下列命题中真命题是()A．B．C．D．4．（5分）下面命题正确的是A．若，则B．命题“，”的否定是“，”C．若向量，满足，则与的夹角为钝角D．“”是“”的必要不充分条件5．（5分）在中,,,,则（）A．B．C

2、．3D．6．（5分）已知点为抛物线上的动点，点在轴上的射影是点坐标为，则的最小值是（）A．B．C．D．7．（5分）已知双曲线的一个焦点与圆的圆心重合，且其渐近线的方程为，则该双曲线方程为（）A．B．C．D．8．（5分）如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A．B．C．D．39．（5分）已知，是两个不重合的平面，直线，，，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）若，满足则的最小值为（）A．2B．10C．4D．811．（5分）以下命题正确的个数是（）①“”是“”的充分不必要条件②命题“”的否定是“”③

3、如果关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是④命题“在中，若，则”的逆命题为假命题A．0B．1C．2D．312．（5分）意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，即，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2019项的和为（）A．672B．673C．1346D．2019第II卷（非选择题)二、填空题13．（5分）《九章算术》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道数学问题：“今有勾八步，股十五步。问勾中容圆，径几何？”意思是：在两条直角边分别为八步和十五步的直角三角形中容纳一个圆，

4、请计算该圆直径的最大值为________步.14．（5分）已知数列满足，，则______．15．（5分）的内角所对的边成等比数列，则的最小值为_____.16．（5分）已知为坐标原点，为椭圆的右焦点，过点的直线在第一象限与椭圆交与点，且为正三角形，则椭圆的离心率为________.三、解答题17．（10分）计算：（1）；（2）．18．（12分）在中，，．（1）求角的大小；（2）设，其中，求取值范围．19．（12分）设等差数列的公差为d，d为整数，前n项和为，等比数列的公比为q，已知，，，，（1）求数列与的通项公式；（2）设，求数列的前n项和为.20．（12分）如图，菱

5、形所在平面与所在平面垂直，且，.（1）求证：AB⊥CE（2）求点到平面的距离.21．（12分）已知抛物线，过点的动直线交抛物线于，两点（1）当恰为的中点时，求直线的方程；（2）抛物线上是否存在一个定点，使得以弦为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由22．（12分）设函数，且函数的图象关于直线对称．(1)求函数在区间上的最小值；(2)设，不等式在上恒成立，求实数的取值范围参考答案1．D2．A3．C4．D5．B6．D7．B8．A9．B10．C11．C12．C13．614．1000015．16．17．（1）原式（2）原式18．（1）因为，所以，所以，又

6、因为，所以，解得，由余弦定理得，因为，所以.（2），因为，所以，所以取值范围为.19．解：（1）有题意可得：，解得（舍去）或，所以＝2n﹣1，．（2）∵，，∴①，②，①﹣②可得，故．20．（1）作，垂足为，连接，由，，，可得，所以，，因为，所以平面，因为平面，所以；（2）由（1）知，平面，所以是三棱锥的高，且，由，，得，所以的面积，三棱锥的体积，由（1）知，，又，所以，由，，可得，因为，所以的面积，设点到平面的距离为，则三棱锥的体积，由得，，因此，点到平面的距离为.21．（1）设，两点坐标分别为，，当恰为的中点时，显然，故，又，故则直线的方程为（2）假设存在定点，设，

7、当直线斜率存在时，设，，，联立整理得，，，，由以弦为直径的圆恒过点知，即即故，即整理得即当时，恒有，故存在定点满足题意；当直线斜率不存在时，，不妨令，，，也满足综上所述，存在定点，使得以弦为直径的圆恒过点22．(1)∵关于直线对称，∴，故，∴，函数在上单调递减，在上单调递增，∴当时，的最小值为1．(2)可化为，化为，令，则，因故，记，∵，故，∴的取值范围是．