自考-线性代数-第一章行列式.ppt

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1、题型一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）四、证明题（本大题共1小题，6分）第一章行列式§1.1行列式的定义从最简单的二元线性方程组出发，探求其求解公式，并设法化简此公式.【例1】二元线性方程组由消元法，得当时，该方程组有唯一解求解公式为二元线性方程组请观察，此公式有何特点？分母相同，由方程组的四个系数确定.分子、分母都是四个数分成两对相乘再相减而得.其求解公式为二元线性方程组引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减”.记号数表表达式称为由该数表所确定的二阶行列式

2、，即其中，称为元素.i为行标，表明元素位于第i行；j为列标，表明元素位于第j列.原则：横行竖列1.1.1二阶行列式与三阶行列式二阶行列式的计算主对角线副对角线即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积。——对角线法则二元线性方程组若令(方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为【例2】求解二元线性方程组【解】因为所以【练习1】若，则k=．【解】【练习2】行列式的值为_________.【解】－2【练习3】行列式的值为_________.【解】-16三阶行列式定义设有9个数排成3行3列的数表原则：横行竖列引进记号称为三阶行列式.主对角线副对角线二阶行列式的对角线法则并不适用

3、！三阶行列式的计算——对角线法则注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号.三阶行列式的规律规律：三阶行列式共有6项，即3!项．每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．【例3】计算行列式【解】按对角线法则，有方程左端【解】由得【例4】求解方程【练习4】计算行列式D=的值．【解】【练习5】3阶行列式____．－5【解】【练习6】3阶行列式=____．161.1.2n阶行列式n阶行列式共有n!项．每一项都是位于不同行不同列的n个元素的乘积．思考题：成立吗？答：符号可以有两种理解：若理解成绝对值，则；若理解成一阶行列式，则.注意：

4、当n=1时，一阶行列式

5、a

6、=a，注意不要与绝对值的记号相混淆.例如：一阶行列式.所以必须写清楚，如一阶行列式

7、－2

8、=－2，或者D=

9、－2

10、=－2。余子式与代数余子式结论三阶行列式可以用二阶行列式表示.思考题任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？例如把称为元素的代数余子式．在n阶行列式中，把元素所在的第行和第列划后，留下来的n－1阶行列式叫做元素的余子式，记作.结论因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.【练习7】行列式中元素的代数余子式____．11【解】【练习8】3阶行列式中元素的代数余子式（）A．－2B．－1C

11、．1D．2B【解】【练习9】设3阶行列式的第2行元素分别为对应的代数余子式分别为，则_______．－10【练习10】已知3阶行列式中元素的代数余子式，求元素的代数余子式的值．由，得，所以【解】§1.2行列式按行(列)展开对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式.引理一个n阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．例如即有又从而下面再讨论一般情形.分析当位于第1行第1列时,行列式按行（列）展开法则定理1.2.1（行列式展开定理）行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即同理可得【

12、例5】计算行列式【解】其中四个结论：(1)对角行列式(2)(3)上三角形行列式（主对角线下侧元素都为0）(4)下三角形行列式（主对角线上侧元素都为0）计算3阶行列式【例6】【解】用对角线法用按行或按列展开法按第一列展开得到按第二列展开得到按第三列展开得到用按行或按列展开法按第一行展开得到按第二行展开得到按第三行展开得到计算4阶行列式【例7】【解】行列式的第二列只含有一个非零元素a22=－1，其他元素均为0，按第二列展开计算量最小，得§1.3行列式的性质与计算1.3.1行列式的性质行列式称为行列式的转置行列式.若记，则.记性质1行列式与它的转置行列式相等,即.行列式中行与列具有同等的地位

13、,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.性质2行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数，等于用数乘以此行列式.验证我们以三阶行列式为例.记根据三阶行列式的对角线法则，有备注：第行（列）乘以，记作.推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．备注：第行（列）提出公因子，记作.计算3阶行列式【例8】【解】计算3阶行列式【例9】【解】在行列式D中的每一行都提出公因数（－1），并用行列式性质1，可以得到因为行列式D是