要点（1）前面讲过的插值多项式,包括Hermite型,都是.ppt

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1、§3、三次样条插值要点：（1）前面讲过的插值多项式，包括Hermite型，都是根据若干样值节点上给定的函数值和导数（甚至是高阶导数）值，求满足这些条件的多项式函数（该多项式在样值节点上的函数值，符合这样要求的称为插值）。设一共给了N+1个条件，则定出一个N次多项式。在分段的情况下，若是分段的k次多项式，则每一段内应给出k+1个条件，段与段之间的连接通过边界点上给出的条件来满足。1（2）样条插值多项式，是一种分段的插值多项式，但又考虑到所有节点的综合影响。样值节点上的函数值仍给定（即保持插值条件），但导数值不再明确给定，代之以要求在所有内部节点上保持导数（一般要求1阶和2阶导

2、数）连续，符合这样的条件称为C样条。得到一个分段的多项式函数（一般是在每个小区间内的三次多项式），通过给定的函数值，且在整体上保持直到二阶导数的连续性（一般地，在节点上三阶导数是间断的）。这时，通常需要解一个与所有节点有关联的线性代数方程组。2（3）对于三次样条插值多项式，设有n+1个节点，则共有n段区间，每段上面要构造一个三次多项式，共需要确定4n个参数（每个三次多项式有4个系数，每个区间上有1个多项式）。另一方面，在n+1个节点上的函数值已知，有n+1个条件；在n-1个内部节点上要求直到二阶导数连续，得到3(n-1)个条件（在内部节点上，点左右两边的函数值、一阶导数值、

3、二阶导数值相等）；这样共有4n-2个已知条件，要确定4n个参数，还缺2个条件，需要另外增加两个边界条件。3（4）样条插值多项式的数学表示有很多种形式，其中用半截函数表示在理论分析和推导上是最方便的，但在实际计算中则有更直观的简便方法。不管是用何种形式，只要条件一样，得到的分段三次样条多项式都是完全一致的（例如，解三转角方程和解三弯矩方程得到的样条插值多项式完全等价）。因为，它仍通过给定的函数值，这类样条函数称为c样条。4（5）利用节点上的一阶导数值mi来表示插值多项式，需要解关于mi的方程组。因为，mi在力学上解释为细梁在节点截面处的转角，且与相邻节点的两个转角有关，故称为

4、三转角方程。5（6）利用节点上的二阶导数值Mi来表示插值多项式，需要解关于Mi的方程组。因为，Mi在力学上解释为细梁在节点截面处的弯矩，且与相邻节点的两个弯矩有关，故称为三弯矩方程。6（7）边界条件给定两个端点处的一阶导数值：给定两个端点处的二阶导数值：周期边界条件：非结点边界条件：7#、三次B样条插值B-样条函数是应用最广泛的生成光滑曲线曲面的技术之一。最常用的是三次B-样条函数。与c-样条函数不同的地方是：B-样条函数甚至不要求通过给定的函数值，而是用给定的点来控制曲线（曲面）的形状和光滑度。对于三次B-样条函数，每一区间上的多项式由该区间的2个端点以及其左右各1个相邻

5、区间的端点，共四个点的位置来确定。8平面上相邻的四个点(xi-1,yi-1),(xi,yi),(xi+1,yi+1),(xi+2,yi+2)确定区间[xi,xi+1]上的一个三次多项式Pi(x)，使得（等距节点情况，步长为1）：上述条件保证了分段多项式在整个区域上满足直到二阶导数的连续性。另外，还有很好的局部性质。9§4、曲线拟合的最小二乘法要点：（1）插值（包括样条）多项式，是给定N+1个条件，构造出一个N次多项式（或分段多项式）。条件个数与待定参数的个数正好相等。在实际工作中，可能测试得到的值很多，而且本身也有误差，所以构造近似的光滑函数（一般就是多项式，也可以是其它类

6、型的函数，例如三角函数）次数不能太高（从而条件多于待定系数），又不必要求近似函数必须通过函数值（类似于B-样条的概念）。这样就引出了曲线拟合和函数逼近的概念。10（2）例如，对给定的m个测试点上的测试函数值f(xi)=yi,i=1,2,,…,m确定n次多项式（n<

7、向量的二范数，确定待定多项式的各个系数，使其最小。求这一极小值问题，得到拟合多项式，这就是最小二乘法。这是在实际应用中非常重要的一种典型的数学方法和概念。用2-范数，不用1-范数或无穷范数，主要是因为用2-范数使得是多项式系数ai(i=0,1,…,n)的多元二次多项式，从而可以方便地求导数，便于理论分析和给出算法。12（4）一般地，如果拟合函数写成已知函数族的一个线性组合：则误差函数为关于ai(i=0,1,…,n)的极小值问题，要求：13（5）记是一个m+1维的向量。用内积记号：则得到求系数ai的线性方程组：当