不尽相同的理念+风格迥异的设计——兼对高三数学复习的宏观思考

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1、万方数据24数学通报2014年第53卷第4期不尽相同的理念风格迥异的设计——兼对高三数学复习的宏观思考连春兴1王坤2周晓知3(1．北京教院丰台分院100073)(2．北京第八十中学100102)(3．湖北宜昌枝江一中443200)笔者最近在湖北省宜昌市枝江一中观摩了两节高三数学复习课，针对“解三角形”的复习，同课异构，精彩纷呈．限于篇幅，择要进行比对，不当之处请同行指正．1对两节课不同维度的评析1．1温故知新与问题导学解三角形复习，离不开对基本工具“正弦定理、余弦定理”的复习，对此两位老师有着不同的处理．周晓知老师利

2、用身居本校的优势，让学生以学案为索引，秉持“学生不练、教师不讲”的做法，课前完成知识梳理，即在学案中呈现正弦、余弦定理，要求学生完成各种变形填空，然后再通过一组“双基自测”题，达到温故知新的目的．上课伊始，学生分组交流自测结果．题目如下：(1)三角形中边角的判断①在AABC中，A>B铮a>b甘sinA>sinB．()②在AABC中，sinA：sinB：sinC一3：2：4，则最大内角的余弦值为一÷．()③在AABC中，若半=学，则B的值为45。．()(2)三角形解的个数的判断①在AABC中，若A一60。，矗=4√3，

3、b一4抠，则B等于45。或135。．()②在AABC中，若A=60。，口一2√3，c一4，则此三角形有两解．()③在AABC中，bsinA<口<6，则此三角形有两解．()(3)三角形形状的判断①在AABC中，若sinAsinBa2，则此三角形是锐角三角形．()王坤老师则在课前下发一组解三角形的题目，尽力要求学生解答，课上反馈解答情况，以了解学生对正弦定理、余弦定理的掌握程度，由于是借班上课，学情不熟，此举有投石问路之意．题目如下：在AABC

4、中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．(1)A2詈，B一号，b=万，求al(2)A一要，吐=捂，6一万，求B；(3)A一詈，a=10，c=10捂，求b；(4)A一詈，a=f=10，求6；(5)A一詈，6—2，c=3，求cosB．o两位老师在学案上分别对正弦、余弦定理呈现与否是有意而为，王老师不呈现定理，试图让学生通过对问题的检索，选择问题解决的策略，加大了思维力度，起到问题导学的作用；周老师呈现定理使学生自然地“温故”，再通过解决一定量的变式应用而“知新”．处理方式虽有区别，但他们都置学生于学习的主体地位，从听课

5、现场反应出的情况看，二者并无明显差异，这说明“温故知新”和“问题导学”，这一对传统与现代的教学理念可以并行不悖．1．2加强综合与舍末求本从两位老师的课前训练内容看，已见两位老万方数据2014年第53卷第4期数学通报25师在适度综合与突出主干方面的差异．如在周老师布置的“自测题”中，综合了三角形中边角的判断、三角形解的个数的判断和三角形形状的判断，特别是(3)中的②题，由“b2+C2>n2”，据余弦定理可判A是锐角，但要否定此三角形是锐角三角形，可能需要举反例，如取“a=C=1，6一√3”满足题设“b2+c2>盘2”，

6、但显然B为钝角．对学生综合能力的要求较高．在例题与练习的选配中也有同样要求，如：例1在△ABC中，口、6、C分别是角A、B、C的对边，口=(sinB+sinC，sinA—sinB)，6=(sinB—sinC，sinA)且a·矗=0，则C=．变式(1)在AABC中，B一詈，AC一√3，则oAABC周长的取值范围为，如果AABC是锐角三角形呢?变式(2)在AABC中，若a，b，C成等差数列，则B的范围为，若a，b，C成等比数列呢?例1利用向量的数量积运算公式及正弦定理得n2+b2一c2=ab，再据余弦定理得c一詈；变式o

7、(1)，(2)更从一般三角形到锐角三角形，从等差数列到等比数列，连贯自然，搭配有度，其中涉及辅助角公式、三角形内角范围、函数单调性、函数值域、不等式组、等差(比)中项、均值定理等知识，综合性较强．而王老师的课，不仅课前练习只涉及解三角形，在课上例题与练习的选配上，也体现出舍末求本的理念．如：例1△ABC的内角A，B，C的对边分别为口n，b，c，aco$B—bcosA一詈c．求证：0(1)a2一b2=；f2；0(2)tanA一4tanB．变式：AABC中，若口一bcosC+csinB，求B．例1的设计，试图使学生洞悉正

8、弦、余弦定理除解三角形外，在解决综合问题时，还有两个基本的变形方式．试想，从题干“acosB—bcosA一0菩c”出发，我们既可以利用正弦定理，把等式化为J角的关系，也可以逆用余弦定理，把等式化为边的关系，而两个证明题支决定了变形方向．此题起点虽低，却体现出王老师帮学生巩固基本技能，树立解题目标意识的高立意．放在例1的位置，又为后续例题、练习题