线性代数经典教程ppt 11.ppt

《线性代数经典教程ppt 11.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在PPT专区-天天文库。

1、线性代数1第十一次课§4.1线性方程组的相容性与解的判定§4.2齐次线性方程组解的结构第四章线性方程组2目的要求（1）掌握线性方程组解的判定定理，会应用判定定理判别线性方程组解的数目；（2）理解齐次线性方程组基础解系的概念，会求齐次线性方程组的基础解系和通解。3我们知道，对于方程个数与未知数个数相等、且系数行列式不为零这一类特殊的线性方程组，可以用克莱姆法则求解。除此之外，在实际应用中存在的一般形式的线性方程组，不能用克莱姆法则求解，求解方法与理论必须进一步加以研究。本章将以向量和矩阵为主要工具，探讨一般形式的线性方程组的相容性、解的结构和求解问题。4线性方程组的表达形式：一、n元

2、线性方程组相容性（有解）的判定一般式：矩阵式：§4.1线性方程组的相容性与解的判定5向量式：6（4.1），（4.2），（4.3）表示的是同一个线性方程组，在今后的讨论中，可以视需要和方便互相替代。解向量：如果未知量的一组值满足线性方程组，则称这组数为线性方程组的解，由它们组成的向量记为：并且称为线性方程组的解向量。7相容性：如果线性方程组有解，则称线性方程组相容，否则称为不相容。一个线性方程组是否相容，完全由这个线性方程组的系数和常数项决定，为了讨论和求解的需要，我们将线性方程组的系数和常数项构成一个矩阵，记为8称为线性方程组的增广矩阵。如果用向量表示则有下面我们讨论线性方程组的相

3、容性问题其中9用消元法解三元线性方程组解:例1ⅠⅡⅢ1.高斯消元法采用了线性方程组同解变形，Ⅲ是Ⅰ同解最简方程组。（各方程的第一个未知数系数均为1且互不包含）2.线性方程组Ⅲ中只有两个有效方程，故有3-2=1个未知量可以自由取值，称其为自由未知量，一般取Ⅲ中各方程中第1个未知量为非自由未知量，后面的为自由未知量。3.观察求解过程，运算只涉及线性方程组的系数和常数项，因而可用对该线性方程组的增广矩阵做初等行变换来代替高斯消元法。10行阶梯形矩阵行最简形矩阵11定理4.1线性方程组相容的充要条件是：它的系数矩阵A和增广矩阵的秩相等，即12设线性方程组相容,则存在一组解使这表明可由A的

4、列向量组线性表示.而显然可由线性表示,所以与等价.故证明:必要性13不妨设为的一个极大线性无关组，设,则的列向量组的秩充分性即是线性方程组的一个解.所以,可由线性表示，baaa=+++nnkkkL2211的一个极大线性无关组，从而也是线性表示,当然也能由因此,存在一组数使14例2判断下列线性方程组是否有解该线性方程组无解。15若在线性方程组（4.1）中，常数列全部为零，则有我们称其为齐次线性方程组。由于总是它的一组解，所以，齐次线性方程组（4.4）总是相容的。16齐次线性方程组（4.4）可表示为矩阵形式向量形式当线性方程组的相容性已经判明时，我们还需要进一步判定线性方程组有解时解

5、的个数情况，即只有唯一解，还是有不止一个解。下面讨论线性方程组在有解的情况下，解的个数问题。17二、线性方程组解的判定(1)如果，则方程组有唯一解定理4.2设n元线性方程组的系数矩阵与增广矩阵满足(2)如果，则方程组有无穷多解有效方程的个数18例3判别线性方程组解的情况解该线性方程组有唯一解。19例4判别线性方程组解的情况该线性方程组有无穷多解。解：20定理4.3有唯一零解有无穷多解（含零解）n元齐次线性方程组21当或时,线性方程组有非零解;当和时,线性方程组只有零解.例5讨论齐次线性方程组当为何值时，只有零解或有非零解？解：22当k为何值时有解？无解？解：例6讨论线性方程

6、组23线性方程组无解线性方程组有无穷多解24例7K为何值时,线性方程组有唯一解,有无穷多个解,无解?解线性方程组有唯一解；线性方程组有无穷多个解；线性方程组无解。25一、齐次线性方程组解的性质性质1若是齐次线性方程组AX=0的解，k为任意实数，则也是齐次线性方程组AX=0的解。性质2若是齐次线性方程组AX=O的解，则也是齐次线性方程组AX=O的解。§4.2齐次线性方程组解的结构26若用V表示齐次线性方程组AX=0的全体解向量组成的集合，则由性质1、性质2有：这说明解向量集合V对向量的数乘和加法运算是封闭的，因此，V又称为齐次线性方程组AX=0的解向量空间，简称解空间。（1）若,则

7、。（2）若，则。27二、齐次线性方程组解的结构当n元齐次线性方程组的系数矩阵A的秩R(A)